[論文レビュー] On some probabilistic aspects of (generalized) dicyclic groups

Marius Tărnăuceanu, Mihai-Silviu Lazorec|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二重巡回群および一般化された二重巡回群、特に$\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n)$に対して、部分群可換性度（sd）および巡回部分群可換性度（csd）の明示的公式を導出し、$\mathrm{csd}(\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}) \to 0$（$m \to \infty$）を証明することで、漸近的に消える巡回部分群可換性度を持つ新しい群のクラスを確立した。

ABSTRACT

In this paper we study probabilistic aspects such as subgroup commutativity degree and cyclic subgroup commutativity degree of the (generalized) dicyclic groups. We find explicit formulas for these concepts and we provide another example of a class of groups whose (cyclic) subgroup commutativity degree vanishes asymptotically.

研究の動機と目的

• 二重巡回群および一般化された二重巡回群の確率的構造を、部分群可換性度（sd）および巡回部分群可換性度（csd）を通じて調査すること。
• $\mathrm{Dic}_{4n}$および$\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n)$におけるsdおよびcsdの明示的閉形式表現を提供すること、特に$n = 2^m$に注目すること。
• csdの漸近的挙動、特に$\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}$のケースを分析し、それが0に近づくかどうかを特定すること。
• 既存の（巡回）部分群可換性度に関する結果を、非アーベル的で非自明な構造を持つ新しい群のクラスへと拡張すること。
• 群の構造とsdおよびcsdのような確率的不変量との間の相互作用に関する未解決問題を特定し、今後の研究のための出発点とすること。

提案手法

• 群の提示$\mathrm{Dic}_{4n} = \langle a, \gamma \mid a^{2n} = e, \gamma^2 = a^n, a^\gamma = a^{-1} \rangle$を用いて、部分群および巡回部分群を分類する。
• 部分群ラティス構造を活用：$\langle a \rangle$には$\tau(2n)$個の巡回部分群があり、$\sigma(n)$個の二重巡回部分群$H_i^s$（$\mathrm{Dic}_{4s}$に同型）がある。
• 定義$sd(G) = \frac{1}{|L(G)|^2} \sum_{H \in L(G)} |C(H)|$を適用する。ここで$C(H)$は$H$と可換な部分群の集合である。
• csdの場合は、$csd(G) = \frac{1}{|L_1(G)|^2} \sum_{H \in L_1(G)} |C_1(H)|$を計算し、巡回部分群およびそれらの可換性関係に注目する。
• 群の同型$\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}$（$n = 2^m$のとき）を用いて計算を簡略化する。
• 数論的関数を用いる：$\tau(m')$（約数の個数）、$\sigma(n)$（約数の和）、および奇数$m'$に対して定義される独自の算術関数$g(m')$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分群可換性度$sd(\mathrm{Dic}_{4n})$の明示的公式は、$n$の素因数分解を用いてどのように表されるか？
• RQ2 一般化された二重巡回群$\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n)$における巡回部分群可換性度$csd(\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n))$は、$n = 2^m$が大きくなるにつれてどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 $A \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n$のとき、一般化された二重巡回群$\mathrm{Dic}_{4n}(A)$における部分群ラティスおよび巡回部分群ポセットの構造はどのようなものか？
• RQ4 $csd(\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}})$は$m \to \infty$のとき0に近づくか？もしそうならば、これは巡回部分群の確率的非可換性にどのような意味を持つのか？
• RQ5 任意の位数$2n$のアーベル群$A$に対して、$\mathrm{Dic}_{4n}(A)$におけるsdおよびcsdの明示的公式を導出できるか？

主な発見

• 二重巡回群$\mathrm{Dic}_{4n}$の部分群可換性度は、$sd(Dic_{4n}) = \frac{(m+2)^2\tau(m')^2 + 2(m+2)\tau(m')\sigma(n) + [(m-1)2^{m+3}+9]g(m')}{[(m+2)\tau(m') + \sigma(n)]^2}$で与えられる。ここで$n = 2^m m'$、$m' \in \mathbb{N}$は奇数であり、$g(m')$は乗法的算術関数である。
• 一般化された二重巡回群$\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_n)$（$n = 2^m$のとき）における巡回部分群可換性度は、$csd(\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}) = \frac{2^m(4m+8) + (2m+2)^2}{(2^m + 2m + 2)^2}$である。
• $\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}$の巡回部分群可換性度は$m \to \infty$のとき0に近づく。すなわち、$\lim_{m \to \infty} csd(\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}) = 0$である。
• 明示的な値としては、$csd(\mathbb{Z}_2 \times Q_8) = 1$、$csd(\mathbb{Z}_2 \times Q_{16}) = \frac{224}{256} = \frac{7}{8}$、$csd(\mathbb{Z}_2 \times Q_{32}) \to 0$が得られた。
• $\mathrm{Dic}_{4n}(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_6)$の巡回部分群可換性度は$\frac{43}{49}$であり、非自明な中間的挙動を示している。
• 本稿では、$\mathbb{Z}_2 \times Q_{2^{m+1}}$という、有限非アーベル群の新しいクラスを提示し、その中で巡回部分群可換性度が漸近的に消えることを示した。