[論文レビュー] On some projective unitary qutrit gates

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$SU(2)$ Chern-Simons理論のレベル4における任意子のブレードおよび融合操作から導かれる、qutritゲートの集合として、$D(18,1,1;2,1,1)$群——$SU(3)$の有限部分群——の物理的実現を提供する。qutrit $2222$系の新しい基底を導入し、Freedman群を$D(18,1,1;2,1,1)$に同型であると再解釈し、ブレード操作と干渉測定を用いてqubit $1221$の新しいアタシラ状態$\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$を構成することで、漏れのないプロトコルを用いたユニバーサルな量子計算が可能になる。

ABSTRACT

As part of a protocol, we braid in a certain way six anyons of topological charges $222211$ in the Kauffman-Jones version of $SU(2)$ Chern-Simons theory at level $4$. The gate we obtain is a braid for the usual qutrit $2222$ but with respect to a different basis. With respect to that basis, the Freedman group of \cite{LEV} is identical to the $D$-group $D(18,1,1;2,1,1)$. We give a physical interpretation for each Blichfeld generator of the group $D(18,1,1;2,1,1)$. Inspired by these new techniques for the qutrit, we are able to make new ancillas, namely $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1>\,+|3>)$ and $\frac{1}{\sqrt{2}}(|1>\,-|3>)$, for the qubit $1221$.

研究の動機と目的

• 本稿は、$SU(2)$ Chern-Simons理論のレベル4における任意子のブレード操作の文脈で、$D(18,1,1;2,1,1)$群の物理的解釈を提供することを目的とする。
• 本稿は、基底の変更の下で、位数648のFreedman群を$D(18,1,1;2,1,1)$に同型であると再解釈することを目的とする。
• 本稿は、ブレード操作と干渉測定を用いて、qubit $1221$の新しいアタシラ状態$\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$を構成し、漏れのない条件を満たすことを目的とする。
• 本稿は、$\overset{\sim}{\mathcal{G}} = D(18,1,1;2,1,1)$群が、任意子のブレードおよび融合操作から導かれる4つの行列によって生成されることを示し、そのうちの1つの生成子が$\overset{\sim}{G_2}$のべき乗として表現可能であることを目的とする。

提案手法

• 本稿は、qutrit $2222$系のための新しい基底$\{e_1, e_2, e_3\} = \left\{ \frac{|0\rangle + |4\rangle}{\sqrt{2}}, |2\rangle, \frac{|0\rangle - |4\rangle}{\sqrt{2}} \right\}$を導入し、標準的なブレード行列$G_1$および$G_2$を、新しい生成子$\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}$に変換する。
• 本稿は、$N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$という新しい行列を定義し、これは4つの電荷2の任意子におけるブレード操作によって物理的に実現可能であり、$\overset{\sim}{G_2}$が生成する部分群と同一であることを示す。
• 本稿は、遷移行列$O$による共役を用いて、$\overset{\sim}{\mathcal{G}}$が$D(18,1,1;2,1,1)$に同型であることを示し、この行列は基底において$|0\rangle$と$|4\rangle$の役割を入れ替える。
• 本稿は、融合操作（FFO）を用いて、初期の位数162の群を位数648の完全な群に拡張し、$\overset{\sim}{\mathcal{G}}$が完全な$D(18,1,1;2,1,1)$群であることを確認する。
• 本稿は、融合操作を表す行列$\overset{\sim}{FUM}$が生成集合に含まれることを証明し、$\overset{\sim}{\mathcal{G}} = \langle \overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM} \rangle$であることを示し、$N$が$\overset{\sim}{G_2}$から導出可能であることを示す。
• アタシラ状態$\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$の構成は、qubit $2211$に1回のブレード$\sigma_2$を適用することで達成され、$|1\rangle$および$|3\rangle$成分に等しいノルムが与えられ、漏れのない条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Blichfeld生成子によって定義される$D(18,1,1;2,1,1)$群は、任意子のブレードおよび融合操作を用いたトポロジカル量子計算モデルにおいて物理的に実現可能か？
• RQ2 qutrit $2222$系における基底の変更は、Freedman群の解釈および$D(18,1,1;2,1,1)$への同型性にどのように影響するか？
• RQ3 ブレード操作と干渉測定を用いて、$|1\rangle$および$|3\rangle$の振幅が等しいqubit $1221$の新しいアタシラ状態を構成可能か？また、それらは漏れのない条件を満たすか？
• RQ4 $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$は、新しい基底において、電荷2の4つの任意子のブレード操作によって物理的に実現可能か？また、群構造とはどのように関係するか？
• RQ5 生成子$\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$によって生成される群$\overset{\sim}{\mathcal{G}}$は、完全な$D(18,1,1;2,1,1)$群と一致するか？また、共役の下でFreedman群と同型であるか？

主な発見

• $\overset{\sim}{\mathcal{G}}$群は、$\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$によって生成され、位数648の$SU(3)$の有限部分群であり、$C_6 \times C_{18} \rtimes S_3$という構造を持ち、$D(18,1,1;2,1,1)$に同型である。
• $N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$は、新しい基底において、電荷2の4つの任意子のブレード操作によって物理的に実現可能であり、$\overset{\sim}{G_2}$が生成する部分群に属するため、物理的実現性が確認される。
• 位数648のFreedman群$Fr(162 \times 4)$は、行列$O$による共役によって$\overset{\sim}{\mathcal{G}}$に変換可能であり、この行列は標準基底$\{|0\rangle, |2\rangle, |4\rangle\}$を新しい基底$\left\{ \frac{|0\rangle + |4\rangle}{\sqrt{2}}, |2\rangle, \frac{|0\rangle - |4\rangle}{\sqrt{2}} \right\}$に変換する。
• $D(18,1,1;2,1,1)$のBlichfeld生成子は、$SU(2)$ Chern-Simons理論のレベル4におけるブレードおよび融合操作として物理的に実現可能であり、$\overset{\sim}{\mathcal{G}}$は$\overset{\sim}{G_1}, \overset{\sim}{G_2}, \overset{\sim}{FUM}$によって生成される完全な群である。
• qubit $2211$に1回の$\sigma_2$ブレードを適用することで、$|1\rangle$および$|3\rangle$成分に等しいノルムが与えられ、$\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle \pm |3\rangle)$というアタシラ状態が構成可能であり、干渉測定プロトコルにおける漏れのない条件を満たす。
• 行列$F(9,1,1)$は$F(9,1,1)^{-1} = \overset{\sim}{G_2} t_1$を満たし、$t_1 = \overset{\sim}{G_2}^9$であるため、$F(9,1,1) = \overset{\sim}{G_2}^8$が導かれる。これにより、$N = \overset{\sim}{G_2}^{-4}$が$\overset{\sim}{G_2}$のべき乗であることが確認され、物理的実現性が裏付けられる。