[論文レビュー] On some properties of a class of fractional stochastic heat equations

Mohammud Foondun, Wei Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、球体の外で停止する$\alpha$-安定過程に関連する生成作用素を有する、空間時間白色ノイズまたは空間相関ノイズによって駆動される分数階確率的熱方程式における2次モーメントの成長を調査する。鋭い熱核推定とMittag-Leffler関数を用いた更新型不等式を用いて、ノイズ強度に対する解エネルギーの対数的成長率を測る「励起指数」が、白色ノイズの場合$\frac{2\alpha}{\alpha-1}$、Rieszカーネル相関を有する色付きノイズの場合$\frac{2\alpha}{\alpha-\beta}$に比例することを確立し、従来の結果をより広いクラスのLévy駆動SDEに拡張する。

ABSTRACT

We consider nonlinear parabolic stochastic equations of the form $\partial_t u=\sL u + λσ(u)\dot ξ$ on the ball $B(0,\,R)$, where $\dot ξ$ denotes some Gaussian noise and $σ$ is Lipschitz continuous. Here $\sL$ corresponds to an $α$-stable process killed upon exiting $B(0, R)$. We will consider two types of noise; space-time white noise and spatially correlated noise. Under a linear growth condition on $σ$, we study growth properties of the second moment of the solutions.

研究の動機と目的

• 古典的ブラウン運動および空間時間白色ノイズのケースを超えて、確率的熱方程式におけるノイズ励起の理解を拡張すること。
• 一般のLévyノイズ、特に$\alpha$-安定過程によって駆動される分数的SDEの解の2次モーメントの漸近的挙動を分析すること。
• 解エネルギーのノイズ強度$\lambda$に関する正確な対数的成長率を確立し、標準的熱方程式に対する既知の結果を一般化すること。
• Dirichlet熱核推定とMittag-Leffler関数を用いた更新不等式を含む、新たな解析的手法の開発および適用を行うこと。

提案手法

• 解は、境界で停止する$\alpha$-安定過程に関連する分数階Dirichlet熱核$p_D(t,x,y)$によって駆動される積分方程式による弱解形式を用いる。
• 停止しない場合との比較を可能にするために、停止$\alpha$-安定過程の鋭い熱核推定が用いられ、解の成長を制御する。
• Mittag-Leffler関数の漸近的性質を用いて、更新型不等式を導出し、解析することでモーメントの境界を求める。
• 空間相関ノイズのより複雑な相関構造を扱うために、[11]の方法の局所化版が適応される。
• 短時間熱核挙動が一致することを確認することで、censored stable、relativistic stable、分数ラプラシアンの和などのさまざまな生成作用素へと解析を拡張する。
• 励起指数は、$\mathcal{E}_t(\lambda)$を解の$L^2$ノルムとするとき、極限$\lim_{\lambda \to \infty} \frac{\log \log \mathcal{E}_t(\lambda)}{\log \lambda}$により定義され、計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズ強度$\lambda$が無限大に近づくとき、分数階確率的熱方程式の解の2次モーメントはどのように成長するか？
• RQ2 ノイズが空間時間白色ノイズである場合と、Rieszカーネルの順序$\beta$を有する空間相関ノイズである場合の、励起指数の正確なスケーリングは何か？
• RQ3 古典的ケース（$\alpha=2$）の結果が、一般の$\alpha$-安定過程（$\alpha \in (1,2)$）に拡張可能か？
• RQ4 境界条件や生成作用素（例：censored、relativistic、分数ラプラシアンの和）の違いが、解エネルギーの成長率に与える影響は何か？
• RQ5 このようなSDEにおける非マルコフ的および長距離相関を持つノイズを取り扱うために必要な解析的ツールは何か？

主な発見

• 空間時間白色ノイズの場合、解の励起指数は$\frac{2\alpha}{\alpha-1}$であり、$\alpha=2$のとき既知の$\exp(\lambda^4)$の成長を回復する。
• Rieszカーネル$f(x,y) = |x-y|^{-\beta}$を有する空間相関ノイズの場合、励起指数は$\frac{2\alpha}{\alpha - \beta}$であり、安定指数$\alpha$と相関強度$\beta$の両方に依存する。
• $\lambda \to \infty$における$\mathbb{E}|u_t(x)|^2$の成長率は、領域の内部に位置する$x$に対して$\lim_{\lambda \to \infty} \frac{\log \log \mathbb{E}|u_t(x)|^2}{\log \lambda} = \frac{2\alpha}{\alpha - 1}$を満たす。
• censored stable過程、relativistic stable過程、分数ラプラシアンの和に対しても、短時間熱核が$t^{-d/\alpha}$のようになる限り、同じ成長率$\frac{2\alpha}{\alpha - \beta}$が得られる。
• 本手法は、鋭い熱核推定とMittag-Leffler関数の漸近的挙動に依存し、更新不等式を通じてモーメント成長を制御する。
• 熱核が$|x-y| \leq t^{1/\alpha}$において$p(t,x,y) \asymp t^{-d/\alpha}$を満たす限り、さまざまな生成作用素にわたって結果が頑健である。これは、有界領域内の広いクラスのLévy過程に成立する。