[論文レビュー] On some properties of the manifolds with skew-symmetric torsion and holonomy SU(n) and Sp(n)

Anna Fino, Gueo Grantcharov|ArXiv.org|Feb 28, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、ヘルミート幾何における2つの予想に対する反例を構成する。まず、すべての超複素多様体が超ケーラー接続（HKT）構造をもつという予想であり、次に、第一チャーン類が消えるコンパクトな複素多様体が SU(n)-holonomy をもつビスマス微分接続をもつヘルミート計量をもつという予想である。ノルム的リー群のコンパクト商を用いて、両性質が小さな変形に対して安定でないことが示され、リー代数上の不変構造解析と対称化技術を用いて、これらの予想が反証された。

ABSTRACT

In this paper we provide examples of hypercomplex manifolds which do not carry HKT structure. We also prove that the existence of HKT structure is not stable under small deformations. Similarly we provide examples of compact complex manifolds with vanishing first Chern class which do not admit a Hermitian structure with restricted holonomy of its Bismut connection in SU(n). Again we prove that such property is not stable under small deformations.

研究の動機と目的

• すべての超複素多様体がHKT構造をもつという予想を反証すること。
• 第一チャーン類が消えるコンパクトな複素多様体が、SU(n)-holonomy をもつビスマス接続をもつヘルミート計量をもつという予想を反証すること。
• HKT構造およびSU(n)-holonomy計量の存在が、小さな変形に対して安定でないことを示すこと。
• ノルム的リー群のコンパクト商と不変幾何構造を用いて、明示的な例を構成すること。
• リー代数上の不変構造に帰着するための対称化技術を適用すること。

提案手法

• 単連結なノルム的リー群 G のコンパクト商 Γ\G を用いて、不変幾何構造をもつ例を構成する。
• 双不変体積形式による対称化を適用し、グローバル幾何的問題をリー代数上の不変テンソルおよび形式の条件に還元する。
• 不変ヘルミート計量におけるビスマス接続およびそのリッチ曲率を解析し、それがいつゼロになるかを特定する。
• 2段階ノルマンフォールド上に1パラメータ族の超複素構造を構成し、HKT構造の存在が変形安定でないことを示す。
• アイワサワ多様体上にホロモーフィックな (3,0)-形式の存在を用いて、バランス型計量とビスマスリッチ曲率のゼロを関連付ける。
• ドッティ、フィーノ、サラモン、パルトンの不変構造に関する結果を活用し、望ましい計量の非存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての超複素多様体がHKT構造をもつのか？
• RQ2 第一チャーン類がゼロである任意のコンパクト複素多様体が、ビスマス接続に関してSU(n)-holonomyをもつヘルミート計量をもつのか？
• RQ3 HKT構造の存在は、小さな超複素変形に対して安定か？
• RQ4 SU(n)-holonomy ビスマス接続をもつヘルミート計量の存在は、小さな複素変形に対して安定か？
• RQ5 ノルム的リー群のコンパクト商が、これらの予想に対する反例を提供できるか？

主な発見

• 2段階ノルマンフォールドは、1パラメータ族の超複素構造をもつ。そのうち1つはHKT構造をもち、他のものはもたない。これはHKT構造の存在が変形安定でないことを証明する。
• アイワサワ多様体に1パラメータ族の複素構造 J_{s,t} が与えられたとき、ビスマスリッチ曲率がゼロであるヘルミート計量が存在するための必要十分条件は s=0 である。
• s≠0 のとき、アイワサワ多様体上には不変バランス型計量が存在せず、したがってSU(3)-holonomy ビスマス接続をもつヘリミート計量も存在しない。
• [18]における予想、すなわち、すべてのコンパクト複素多様体が c₁=0 ならばSU(n)-holonomy ビスマス接続をもつヘルミート計量をもつという予想は、反例によって誤りであることが示された。
• HKT構造およびSU(n)-holonomy ビスマス接続をもつ計量の存在は、明示的な構造族によって示されるように、小さな変形に対して安定でない。
• 対称化プロセスは、グローバル存在問題をリー代数上の不変構造の存在問題にうまく還元でき、表現論的道具の使用を可能にした。