[論文レビュー] On some properties on bivariate Fibonacci and Lucas polynomials

Hacène Belbachir, Farid Bencherif|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、チェビシェフ多項式の整数座標性質を2変数のフィボナッチおよびラウス多項式へ一般化し、特定の多項式族が多項式空間における基底をなすことを証明する。$ U_{2n+1}, V_{2n}, U_{2n}, $ および $ V_{2n-1} $ の分解における整数係数の再帰的関係を確立し、直交多項式に対する既知の結果を2次の線形再帰列へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we generalize to bivariate polynomials of Fibonacci and Lucas, properties obtained for Chebyshev polynomials. We prove that the coordinates of the bivariate polynomials over appropriate basis are families of integers satisfying remarkable recurrence relations.

研究の動機と目的

• チェビシェフ、ジェイコブスティール、モーガン＝ヴォイス多項式で観察される整数座標現象を2変数のフィボナッチおよびラウス多項式へ拡張すること。
• 特定の2変数のフィボナッチおよびラウス多項式族が多項式部分空間 $ E_{2n} $ および $ E_{2n-1} $ における基底をなすことを証明すること。
• これらの基底上での高次のフィボナッチおよびラウス多項式の分解における整数係数の明示的再帰的関係を導出すること。
• 2次の線形再帰列の構造的性質を多項式基底表現を通じて統一的かつ一般化すること。

提案手法

• パラメータ $ x $ および $ y $ を用いた2次の線形再帰により、2変数のフィボナッチ $ U_n(x,y) $ およびラウス $ V_n(x,y) $ を定義する。
• 多項式 $ x^{n-k}U_{n+k} $ および $ x^{n-k}V_{n+k} $ からなる特別な基底 $ eta_U, eta_V, eta_U^*, eta_V^* $ を導入し、これらが $ E_{2n} $ および $ E_{2n-1} $ を張ることを示す。
• 係数族 $ a_{n,k}, b_{n,k}, c_{n,k}, d_{n,k}, e_{n,k} $ を用いて、$ U_{2n+1}, V_{2n}, U_{2n}, V_{2n-1} $ の分解公式を確立する。
• 特にシフト作用素 $ E $ および差分作用素 $ x - E $ を用いた作用素代数により、係数族の再帰的関係を導出する。
• 作用素 $ (x - E)^n $ を含む重要な補題を用いて、$ (x - E)^n U_m = (-y)^n U_{m-n} $ のような恒等式を証明し、係数の導出を可能にする。
• 作用素計算および数学的帰納法を用いて、すべての分解恒等式を検証し、既知の恒等式 $ V_n = 2U_{n+1} - xU_n $ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェビシェフ多項式の整数座標性質は、2変数のフィボナッチおよびラウス多項式へ一般化可能か？
• RQ2 族 $ eta_U, eta_V, eta_U^*, eta_V^* $ は多項式空間 $ E_{2n} $ および $ E_{2n-1} $ における基底をなすか？
• RQ3 基底上での $ U_{2n+1}, V_{2n}, U_{2n}, V_{2n-1} $ の分解における整数係数を支配する再帰的関係は何か？
• RQ4 作用素論的恒等式 $ (x - E)^n $ は、これらの係数関係の導出をどのように支援するか？
• RQ5 2変数のフィボナッチおよびラウス多項式の構造的性質は、他の2次線形再帰列と同一の枠組みで統一可能か？

主な発見

• 族 $ eta_{n,U} = (x^{n-k}U_{n+k})_{0 \to n} $ および $ eta_{n,V} = (x^{n-k}V_{n+k})_{0 \to n} $ は $ E_{2n} $ における基底をなし、$ eta_{n,U}^* = (x^{n-k}U_{n+k})_{0 \to n-1} $、$ eta_{n,V}^* = (x^{n-k}V_{n+k-1})_{0 \to n-1} $ は $ E_{2n-1} $ における基底をなし、それぞれを形成する。
• 分解 $ 2U_{2n+1} = \bigsum_{k=0}^n a_{n,k} x^{n-k} V_{n+k} $ における係数 $ a_{n,k} $ は再帰 $ a_{n,k} = a_{n-1,k} - a_{n-1,k-1} + 2\binom{n}{k} $ を満たし、初期条件 $ a_{n,0} = 1 $、$ a_{0,k} = \binom{0}{k} $ を満たす。
• 分解 $ U_{2n} = \bigsum_{k=0}^{n-1} b_{n,k} x^{n-k} U_{n+k} $ における係数 $ b_{n,k} $ は $ b_{n,k} = (-1)^{n-k+1} \binom{n}{k} $ で与えられ、$ b_{n,k} = -b_{n-1,k} + b_{n-1,k-1} $ を満たす。
• 分解 $ V_{2n-1} = \bigsum_{k=0}^{n-1} c_{n,k} x^{n-k} U_{n+k} $ は $ c_{n,k} = \frac{1}{2}(a_{n-1,k} + d_{n,k}) + \binom{n}{k} $ で支配され、$ d_{n,k} $ は再帰により定義される。
• 作用素恒等式を用いて $ 2U_{2n+1} = (x - E)^n V_n + 2\bigsum_{k=1}^n E^k (x - E)^{n-k} V_n $ が証明され、$ 2U_{2n+1} $ が $ V_{n+k} $ の線形結合として表されることを示す。
• 分解 $ 2U_{2n} = \frac{1}{2}x A_{n-1} V_{n-1} + \frac{1}{2}D_n V_{n-1} + V_{2n-1} $ は $ xU_{2n-1} + V_{2n-1} = 2U_{2n} $ に還元され、恒等式 $ V_m = 2U_{m+1} - xU_m $ を用いて検証される。