[論文レビュー] On some questions of Eymard and Bekka concerning amenability of homogeneous spaces and induced representations

Vladimir Pestov|ArXiv.org|Dec 30, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、調和解析および表現論における、可解性を有する同次空間および誘導表現に関する、長年の3つの未解決問題を解決する。離散群 $G = \mathbb{Z} \ltimes F_\infty$ を構成し、閉部分群 $F \subset H \subset G$ をとる。ここで $G/F$ は Eymard–Greenleaf 可解であるが $H/F$ はそうでない。これは、$G/F$ の可解性が $H/F$ の可解性を意味しないことを示している。その結果、誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ が可解であっても $\rho$ が可解でないことがあるし、$\rho$ と $G/H$ がともに可解であっても $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ が可解でないことがあることが示され、Eymard と Bekka が提起した疑問に否定的な答えを与える。

ABSTRACT

Let $F\subseteq H\subseteq G$ be closed subgroups of a locally compact group. In response to a 1972 question by Eymard, we construct an example where the homogeneous factor-space $G/F$ is amenable in the sense of Eymard-Greenleaf, while $H/F$ is not. (In our example, $G$ is discrete.) As a corollary which answers a 1990 question by Bekka, the induced representation $\ind_H^G(ρ)$ can be amenable in the sense of Bekka even if $ρ$ is not amenable. The second example, answering another question by Bekka, shows that $\ind_H^G(ρ)$ need not be amenable even if both the representation $ρ$ and the coset space $G/H$ are amenable.

研究の動機と目的

• 1972 年に Eymard が提起した、閉部分群 $F \subset H \subset G$ に対して $G/F$ の可解性が $H/F$ の可解性を意味するかという問題を解決すること。
• 1990 年に Bekka が提起した、誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ が可解であるならば、元の表現 $\rho$ も可解でなければならないかという問題に答えること。
• 表現 $\rho$ と coset 空間 $G/H$ がともに可解ならば、誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ も必然的に可解であるかを検討すること。
• 半直積と $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 内の格子作用を用いた具体的な反例の構成により、予想される含意関係を否定すること。
• 局所コンパクト群の文脈において、同次空間、表現、および誘導表現の可解性の関係を明確にすること。

提案手法

• $F_\infty$ を自由群とし、$\mathbb{Z}$ が生成子をずらす作用をもつことにより、$G = \mathbb{Z} \ltimes F_\infty$ という半直積として離散群 $G$ を構成する。
• $F = \Gamma_0 \subset H = F_\infty \subset G$ と定義する。ここで $\Gamma_n$ は $F_\infty$ の共役部分群である。
• $G/F$ が可解であることを示す。これは、有限部分集合が十分大きな $n$ に対して $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 上で自明に作用することを用いて、準正則表現 $\lambda_{G/F}$ がほとんど不変ベクトルを持つことを示すことで達成する。
• $H/F$ が非可解であることを証明する。これは $H/F$ が自由群に同型であるためである。
• Mackey の再帰定理と $n \geq 3$ の $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ の性質 (T) を用いて、第二の反例を構成する。$G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$, $H = \mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$, $H$ の有限次元非自明な非自明な既約表現 $\pi$ をとる。
• Bekka の可解性の基準を適用し、$\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ が非ゼロの不変ベクトルを持たないことを示す。これにより、$G$ が性質 (T) を持つことから、この誘導表現は可解でないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉部分群 $F \subset H \subset G$ に対して、同次空間 $G/F$ の可解性が $H/F$ の可解性を意味するか？
• RQ2 誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ が可解であるならば、元の表現 $\rho$ も可解でなければならないか？
• RQ3 表現 $\rho$ と $G/H$ がともに可解ならば、誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$ は必然的に可解であるか？
• RQ4 群 $H$ のユニタリ表現 $\pi$ が非可解であっても、その誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ が可解であることはあり得るか？
• RQ5 非可解な設定において、表現の漸近的不変性と誘導表現の可解性の関係は何か？

主な発見

• $G/F$ は Eymard–Greenleaf 可解である。これは、十分大きな $n$ に対して $F_\infty$ の有限部分集合が $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 上で漸近的に自明に作用するため、準正則表現 $\lambda_{G/F}$ がほとんど不変ベクトルを持つことによる。
• $H/F$ は自由群に同型であり、非可解であるため、Eymard の問いに対する反例が得られる。
• 誘導表現 $\mathrm{ind}_H^G(\lambda_{H/F}) = \lambda_{G/F}$ は $\lambda_{H/F}$ が非可解であっても可解である。これは Bekka の問いに否定的な答えを与える。
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$, $H = \mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$, $H$ の非自明な有限次元ユニタリ表現 $\pi$ をとると、$\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ は $\pi$ と $G/H$ がともに可解であるにもかかわらず非可解である。
• $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$ は非ゼロの不変ベクトルを持たず、$G$ が性質 (T) を持つことから、これは可解でない。これは Bekka の第三の問いに否定的な答えを与える。
• 非可解な $F_\infty$-加群 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ の直交直和は、有限部分集合の漸近的不変性のおかげで可解になる。これは、局所的および大域的可解性の間の非自明な相互作用を示している。