[論文レビュー] On some remarkable congruences between two elliptic curves

Nicolas Billerey|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、互いに二次的ツイストでないにもかかわらず、ガロア加群として同型な17 torsion部分群をもつ、非同種の有理楕円曲線 E と E′ のペアを提示する。モジュラー形式および17を法とする合同関係を用いて、E および E′ の mod 17 ガロア表現の半単純化が同型であることを検証し、5で加法的還元を示すことで両者とも非可約であることが判明する。これは、二次的ツイストを超えた17合同な曲線の稀な例である。

ABSTRACT

We exhibit two non-isogenous rational elliptic curves with $17$-torsion subgroups isomorphic as Galois modules.

研究の動機と目的

• 非同種の有理楕円曲線 E と E′ の17 torsion 部分群がガロア加群として同型であるかを特定および検証すること。
• このような mod 17 ガロア表現間の合同関係が、二次的ツイストの外側でも生じうるかを調査すること。
• p > 17 の場合の例を探索することで、Frey-Mazur予想の限界を検証すること。
• 関連するモジュラー形式のフーリエ係数間の mod 17 合同関係を計算的に検証すること。

提案手法

• N = 3675 および N′ = 47775 を用いて [KO92] の命題4を適用し、17を法とする合同関係を分析する。
• すべての素数 l < 3360、l ≠ 3,5,7,13 に対して、aₗ(E) ≡ aₗ(E′) mod 17 であることを検証する。
• 素数 13 における整合性を確認するため、条件 a₁₃(E)a₁₃(F) ≡ ±(13+1) mod 17 をチェックする。
• Sage ソフトウェアを用いて、合同関係の計算的検証を実行する。
• E および E′ に付随するガロア表現 ρ および ρ′ を分析し、5における悪い加法的還元によって非可約性を特定する。
• mod 17 表現の像がボレル部分群に含まれないことを確認し、非可約性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの非同種の有理楕円曲線が、ガロア加群として同型な17 torsion 部分群をもてるか？
• RQ2 二次的ツイストでない17合同な楕円曲線の例は存在するか？
• RQ3 導手および判別式は、このような合同関係を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 このような合同関係は p > 17 の素数へまで拡張可能か？そして、Frey-Mazur予想に何を意味するか？

主な発見

• E および E′ の17 torsion 部分群は、E および E′ が同種でないにもかかわらず、ガロア加群として同型である。
• E および E′ に付随する mod 17 ガロア表現の半単純化は、17を法とするフーリエ係数の合同関係によって確認され、同型である。
• 両ガロア表現は、導手指数2および位数6の巡回的インert性群 Φ₅ を持つ5における加法的還元により非可約である。
• E および E′ は互いに二次的ツイストではなく、360,000未満の導手を持つ8組のうちの1組に過ぎない。
• p > 17 に対して、非同種の有理楕円曲線が p-torsion をガロア加群として同型に持つような既知の例は存在しない。