[論文レビュー] On some remarkable operads constructed from Baxter operators

Philippe Leroux|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、結合的代数に作用するバクスター作用素から導かれる新しいオペラッドを提示し、非コアソシエーシブなバイアリュエブラ、絡み合ったコプロダクト、および双分木、四分木、八分木代数などの代数的構造との深い関係を明らかにする。主な貢献は、可換な右バクスター作用素を用いた結合的代数およびオペラッドの体系的構成であり、自己準同型空間に新しいダイアリュエブラ、トライアリュエブラ、およびライブニッツ／ポアソンダイアリュエブラを導く。応用分野には記号的力学系および重み付き有向グラフが含まれる。

ABSTRACT

Language theory, symbolic dynamics, modelisation of viral insertion into the genetic code of a host cell motivate the introduction of new types of bialgebras whose coalgebra parts are not necessarily coassociative. One of the aim of this article is to study what type of (associative) algebras (and thus binary quadratic and non-symmetric operads) appear when such or such coalgebraic structures are used to decribe for instance combinatorial objects such as weighted directed graphs, trees, substitutions and so forth.

研究の動機と目的

• 結合的代数に、コアソシエーシブ性を要しない複数の絡み合ったコプロダクトが備わっている場合に生じる代数的構造を調査すること。
• 特に右および左バクスター作用素と関連する、非対称かつ二項二次的オペラッドの新種を結びつけるフレームワークを確立すること。
• 重み付き有向グラフや記号的力学系モデルといった組合せ的対象から、これらの構造がどのように生じるかを示すこと。
• $\epsilon[R]$-ダイアリュエブラや$\epsilon[R]$-トライアリュエブラのような新しい代数的系を構成し、それらの自己準同型代数がライブニッツまたはポアソンダイアリュエブラ構造を引き継ぐことを示すこと。
• 畳み込み積およびシフト作用素$\gamma$、$\beta$が、自己準同型空間から結合的代数およびオペラッドを生成する役割を明らかにすること。

提案手法

• 本稿では、結合的代数上の右および左バクスター作用素$\zeta$を用い、$\zeta(x)\zeta(y) = \zeta(\zeta(x)y + x\zeta(y))$およびその変種を満たすことで、新しい代数的演算を生成する。
• コプロダクト$\Delta$がコアソシエーシブ性を要しない$\epsilon'[R]$-バイアリュエブラを導入し、より柔軟なコモジュール的構造を可能にする。
• 自由結合的代数上での右バクスター作用素の作用を用いて、$n$-ハイパーキュービック$\epsilon[R]$-バイアリュエブラおよび円形代数を構成する。
• 自己準同型代数$\text{End}(A)$には、コプロダクト$\Delta_\vdash$、$\Delta_\dashv$などに基づく畳み込み積$\overrightarrow{*}_\gamma$が導入され、結合的ダイアリュエブラを生じる。
• 非対称的交換子$[T,S] := T \overrightarrow{*}_\gamma S - S \overrightarrow{*}_\gamma T$を用いて、$\text{End}(A)$上にライブニッツ代数構造を定義し、トライアリュエブラの場合にはポアソンダイアリュエブラ構造が生じる。
• 有向グラフのコアソシエーシブ被覆を用いて、拡張コプロダクト$\Delta_{i,\sharp}$を介し、自由結合的代数$As(V)$上に$\epsilon[R]$-トライアリュエブラを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な右および左バクスター作用素は、コアソシエーシブ性を要しないバイアリュエブラからどのように新しい結合的代数およびオペラッドを生成するか？
• RQ2 結合的代数に二つのコプロダクトが存在し、それらが積と整合的でかつ絡み合い条件を満たす場合、どのような代数的構造が生じるか？
• RQ3 $\epsilon[R]$-バイアリュエブラまたはダイアリュエブラの自己準同型代数が、畳み込み積を介してライブニッツまたはポアソンダイアリュエブラ構造を引き継げるか？
• RQ4 重み付き有向グラフおよび記号的力学系モデルは、非コアソシエーシブなコプロダクトとバクスター作用素を用いてどのように代数的に記述できるか？
• RQ5 シフト作用素$\gamma$、$\beta$およびそれらの合成は、自己準同型代数から非対称オペラッドを生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 自己準同型代数$\text{End}(A)$は、$\epsilon[R]$-ダイアリュエブラ$(A, \mu, \Delta_\vdash, \Delta_\dashv)$に対して、畳み込み積$\overrightarrow{*}_{\gamma_{\vdash}}$および$\overrightarrow{*}_{\gamma_{\dashv}}$を介して結合的ダイアリュエブラ構造を引き継ぐ。
• 非対称的交換子$[T,S] = T \overrightarrow{*}_{\gamma_{\vdash}} S - S \overrightarrow{*}_{\gamma_{\dashv}} T$は、$\text{End}(A)$にライブニッツ代数構造をもたらす。
• $\epsilon[R]$-トライアリュエブラの場合は、三重畳み込み構造が、非対称的交換子および第三の畳み込み積を介して、$\text{End}(A)$上にポアソンダイアリュエブラ構造を誘導する。
• $As(V)$上に$\epsilon[R]$-トライアリュエブラを、$kV$上のコトライアリュエブラからの拡張コプロダクト$\Delta_{i,\sharp}$を用いて構成する方法は、有向グラフからこのような代数を体系的に生成する手段を提供する。
• 本稿では、$n$-円形代数および$n$-ハイパーキュービック$\epsilon[R]$-バイアリュエブラが右バクスター作用素を用いて構成可能であり、以前の結果を一般化していることを示している。
• このフレームワークにより、得られるオペラッドの自由対象およびコーゾリティの問題が未解決のまま残っていることが明らかになった。