[論文レビュー] On some representations of degenerate affine Hecke algebras of type $BC_{n}$

Xiaoguang Ma|ArXiv.org|Oct 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、型 $BC_n$ の退化 affine Hecke代数（dAHA）の表現を、ユニタリ群の主系列モジュールを有限次元のdAHAモジュールへ写像するLie理論的関手 $F_{n,p,\nu}$ を用いて研究する。この関手により、モジュールの像の次元を計算し、可換な生成子 ${ y_i \u007d$ の共通固有ベクトルを構成し、特にランク1の場合に中心的特徴値を用いてdAHAモジュール構造を明示的な固有値公式により完全に記述する。

ABSTRACT

Let G=U(p,q) and K=U(p)xU(q). In arXiv:0801.1530, the authors construct a functor from the category of Harish-Chandra modules for the pair (G,K) to the category of representations of the degenerate affine Hecke algebra of type B_n. In this paper, we study the image of the principal series modules of G under this functor. We describe the dAHA module structure of the image by constructing a family of common eigenvectors of {y_i}. In the rank 1 case, we write down an explicit formula for the generator y_{1} in terms of central elements of U(g) and calculate the eigenvalue of y_{1} by using the central characters.

研究の動機と目的

• 関手 $F_{n,p,\nu}$ による $U(p,q)$-モジュールから有限次元の型 $BC_n$ のdAHA表現への写像における主系列モジュールの像の次元を計算すること。
• 型 $BC_n$ のdAHAの可換生成子 ${ y_i \u007d$ の共通固有ベクトルの族を構成すること。
• $F_{n,p,\nu}(H_{\pi\otimes\nu})$ のdAHAモジュール構造を明示的な固有値計算により完全に特定すること。
• ランク1の場合に、$U(\mathfrak{g})$ の中心的要素を用いて生成子 $y_1$ の明示的公式を、中心的特徴値を用いて提示すること。

提案手法

• 関手 $F_{n,p,\nu}(M) = (M \otimes (\mathbb{C}^N)^{\otimes n})^{\mathfrak{k}^0, \mu}$ を用いて、$\mathfrak{gl}_N$-モジュールを型 $BC_n$ の有限次元dAHA表現へ写像する。
• Iwasawa分解とHarish-Chandra写像を適用し、$U(p,q)$ の主系列モジュール $H_{\pi\otimes\nu}$ におけるCasimir作用素の作用を解析する。
• Harish-Chandra同型を用いて、$y_i$ の固有値を中心的特徴値の言語で表現し、それらを計算する。
• 重みパラメータ $\lambda$, $\nu$, $\mu$, $\tau$ を用いて、特殊な場合における $c_2 = \mathrm{tr}(y_1^2)$ および $c_3 = \mathrm{tr}(y_1^3)$ の明示的公式を導出する。
• ランク1の場合を用いて、2つの異なるパrameter領域で $y_1^2 = \nu_k^2/4$ および $y_1^2 = ((q-p+\mu(p+q))/2)^2$ を導出する。
• 主定理（定理4.7）との整合性を確認するため、計算された $y_1^2$ とモジュール構造から得られる $\lambda_{1,1}^2$ を照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関手 $F_{n,p,\mu}$ による主系列モジュール $H_{\pi\otimes\nu}$ の像の次元は何か？型 $BC_n$ のdAHAにおいて。
• RQ2 $F_{n,p,\mu}$ の像において、dAHAの可換生成子 ${ y_i \u007d$ の共通固有ベクトルの族を明示的に構成できるか？
• RQ3 $U(p,q)$ の主系列モジュールに対して、$F_{n,p,\mu}(H_{\pi\otimes\nu})$ の完全なdAHAモジュール構造は何か？
• RQ4 ランク1のdAHAにおいて、生成子 $y_1$ の作用を $U(\mathfrak{gl}_N)$ の中心的要素の言語でどのように表現できるか？
• RQ5 中心的特徴値を用いて計算された $y_1$ の固有値は、定理4.7が予測するモジュール構造と整合的か？

主な発見

• 本稿の枠組みにおいて、主系列モジュール $H_{\pi\otimes\nu}$ の関手 $F_{n,p,\mu}$ による像の次元が明示的に計算されている。
• Lie理論的関手と重みパラメータを用いて、型 $BC_n$ のdAHAの生成子 ${ y_i \u007d$ の共通固有ベクトルの族が構成されている。
• 定理4.7において、$F_{n,p,\mu}(H_{\pi\otimes\nu})$ のdAHAモジュール構造が完全に記述されており、生成子 $y_i$ の作用が特定されている。
• ランク1の場合、ケース1では $y_1^2 = \nu_k^2/4$ が固有値として与えられ、モジュール構造から得られる $\lambda_{1,1}^2$ と一致する。
• ケース2では $y_1^2 = ((q-p+\mu(p+q))/2)^2$ が固有値として与えられ、定理4.7が予測する $\lambda_{1,1}^2$ と整合的である。
• $c_2 = \mathrm{tr}(y_1^2)$ および $c_3 = \mathrm{tr}(y_1^3)$ の公式が2つのパrameter領域で明示的に導出されており、モジュールの固有値構造と整合的であることが確認されている。