[論文レビュー] On Some Stratifications of Affine Deligne-Lusztig Varieties for SL_3

Boris Zbarsky|ArXiv.org|May 31, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$SL_3$ のアフィン・デリーニュ＝ルスティッグ多様体のボレル＝モーアホモロジーにおけるイワホリ部分群の作用を調査し、部分群 $A(\mathfrak{o}_F)$ がホモロジーに自明に作用することを示している。これは、$A(\mathfrak{o}_F)$ に対して不変な層構造を構成し、その作用を連結な群 $A(\mathfrak{o}_L)$ に拡張することによって達成される。主な結果は、$A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ のホモロジーへの表現が、層の置換を通じて因子化され、$A(\mathfrak{o}_F)$ の作用が自明であるということである。

ABSTRACT

Let L be k((ε)), where k is an algebraic closure of a finite field with q elements and εis an indeterminate, and let σbe the Frobenius automorphism. Let G be a split connected reductive group over the fixed field of σin L, and let I be the Iwahori subgroup of G(L) associated to a given Borel subgroup of G. Let W be the extended affine Weyl group of G. Given x in W and b in G(L), we have some subgroup of G(L) that acts on the affine Deligne-Lusztig variety X_x(b) = {gI in G(L)/I : g^{-1}bσ(g) is in IxI} and hence a representation of this subgroup on the Borel-Moore homology of the variety. We investigate this representation for certain b in the cases when G is SL_2 and G is SL_3.

研究の動機と目的

• アフィン・デリーニュ＝ルスティッグ多様体 $X_x(\epsilon^\nu)$ のボレル＝モーアホモロジーにおける、群 $A(F) \cong \mathbb{Z}^{n-1} \times A(\mathfrak{o}_F)$ の表現を理解すること。
• 特に、$A(\mathfrak{o}_L)$ が左乗法で作用しない場合でも、部分群 $A(\mathfrak{o}_F)$ がこのホモロジーに自明に作用する条件を特定すること。
• $X_x(\epsilon^\nu)$ を $A(\mathfrak{o}_F)$-作用に関して不変な、互いに素な閉部分集合の層に分割する方法を構築すること。
• $A(F) \cong \mathbb{Z}^{n-1}$ を通じてホモロジー表現が因子化され、その作用が層のホモロジー空間の置換として実現されることを証明すること。
• $SL_2$ の場合に有効であった手法（$A(\mathfrak{o}_L)$-作用が自明性を示す）を、$SL_3$ に層構造を用いて一般化すること。

提案手法

• イワホリ二重コセット $IxI$ への属するかどうかを決定するため、小行列式（$1\times1$ 行列式を含む）の付値を用いた基準を開発した。
• $g \in w^{-1}U_1 w x I$ となる $x \in \widetilde{W}$ を特定する方法を導入し、行列成分と付値条件に基づく。
• $X_x(\epsilon^\nu)$ を $A(\mathfrak{o}_F)$-作用に関して不変な、互いに素な閉部分集合の層に構成した。
• 各層における $A(\mathfrak{o}_F)$-作用を、連結な群 $A(\mathfrak{o}_L)$ に拡張し、ホモロジーに自明な作用が生じることを示した。
• 定理6を用いて、$x=\epsilon^{(d,e,f)}$ で $f \leq e \leq d$、$i>j>k$、$i+j+k=0$ のとき、$X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ が $w=1$ のみで非空であることを検証した。
• 定理1の付値条件を応用し、$h \in IxI$ であるための必要十分条件を導出し、$\mathop{\mathrm{val}}(\alpha\epsilon^k) > f+e$、$\mathop{\mathrm{val}}(\gamma) > f$、$\mathop{\mathrm{val}}(\beta) > f$ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で、$SL_3$ の $X_x(\epsilon^\nu)$ のボレル＝モーオホモロジーにおける部分群 $A(\mathfrak{o}_F)$ が自明に作用するか？
• RQ2 $A(\mathfrak{o}_L)$ が左乗法で作用しない場合でも、層構造を用いて $A(\mathfrak{o}_F)$-作用を $A(\mathfrak{o}_L)$ に拡張できるか？
• RQ3 $x \in \widetilde{W}$ および $\nu \in \mathbb{Z}^3$ で $i>j>k$、$i+j+k=0$ を満たすとき、$X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ が $w=1$ のみで非空となるのはどのような場合か？
• RQ4 行列式の付値条件は、$SL_3$ の $IxI$ への属する条件をどのように決定するか？
• RQ5 $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ のホモロジーへの表現の構造は何か？ そして、この表現は $\mathbb{Z}^2$ を通じてどのように因子化されるか？

主な発見

• 部分群 $A(\mathfrak{o}_F)$ は、$SL_3$ の $X_x(\epsilon^\nu)$ のボレル＝モーオホモロジーに自明に作用する。これは、作用が連結群 $A(\mathfrak{o}_L)$ に拡張可能であるためである。
• $x = \epsilon^{(d,e,f)}$ で $f \leq e \leq d$ かつ $i>j>k$、$i+j+k=0$ のとき、$X_x(\epsilon^\nu) \cap U_1 w I$ は $w=1$ のみで非空である。
• $A(F) \cong \mathbb{Z}^2$ のホモロジーへの作用は、互いに素な閉層のホモロジー空間の置換を通じて因子化され、$A(\mathfrak{o}_F)$ の寄与は自明である。
• $h \in IxI$ であるための必要十分条件は、$\mathop{\mathrm{val}}(\alpha\epsilon^k) > f+e$、$\mathop{\mathrm{val}}(\gamma) > f$、$\mathop{\mathrm{val}}(\beta) > f$ であり、これらは定理1から導出された。
• 行列 $g = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ に対応する六角形のすべての頂点が一致しており、定理6の適用が確認された。
• $f=k$、$w=1$、$d=j$、$e=i$ の場合、$h \in IxI$ となるためには $\mathop{\mathrm{val}}(a) > 0$、$\mathop{\mathrm{val}}(c) > 0$、$\mathop{\mathrm{val}}(b) > 0$ が必要であり、右 $I$-作用により $a,b,c$ を消去可能である。