[論文レビュー] On Some Topological Concepts of TVS-Cone Metric Spaces and Fixed Point Theory Remarks

Thabet Abdeljawad, Shahram Rezapour|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形スカラライゼーションを用いて、任意のTVS-cone距離空間が標準的距離空間と位相的に同型であることを確立する。これにより、古典的距離空間からの不動点定理がTVS-cone距離空間へと移行可能となる。本稿は、錐の正規性を仮定しない条件下でも、このような空間が第一可算かつパラコンパクトであることを証明し、一部の非線形収縮条件が距離空間設定において同等に分析可能であることを示すが、一部の不動点結果は元のTVS-coneフレームワークにおいて非自明なままであることを示している。

ABSTRACT

We prove that every TVS-cone metric space (i.e a cone metric space over a locally convex topological vector space $E$) is first countable paracompact topological space and by using Du's results in " [A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, {Nonlinear Analysis},72(5),2259-2261 (2010)]", we conclude that every TVS-cone metric space is topologically isomorphic to a topological metric space. We also show how to construct comparable metric topologies to TVS-cone metric topologies by using the system of seminorms generating the topology of the locally convex topological vector space $E$. When $E$ is a Banach space these metric topologies turn to be equivalent to the original TVS-cone metric topologies. Even though, we remark that there are still some fixed point theorems to deal nontrivially with them in TVS-cone metric spaces. The nonlinear scalarization is used also to prove some fixed point theorems with nonlinear contractive conditions.

研究の動機と目的

• TVS-cone距離空間の位相的構造を確立し、錐の正規性を仮定しない条件下でも第一可算かつパラコンパクトであることを示すこと。
• 非線形スカラライゼーションを用いて、TVS-cone距離空間が標準的距離空間と位相的に同型であることを示すこと。
• 底辺空間Eの局所凸位相を生成する半ノルム系を用いて、同等の距離位相を構成すること。
• スカラライゼーションを介して自明に還元できない不動点定理が存在する状況を特定すること。

提案手法

• Duの非線形スカラライゼーション関数 ξₑ: P → ℝ₊ を用い、錐値距離を実数値距離へ写像する。
• スカラライゼーションを適用して、TVS-cone距離空間と標準的距離空間との間の位相的同型を示す。
• 局所凸TVS Eの位相を生成する半ノルム系 S を用いて、同等の距離位相を構成する。
• 錐 P の内部の性質およびスカラライゼーション関数の連続性を用いて、収束性と収縮的性質を保存する。
• スカラライゼーションを用いて、非線形収縮条件 φ: P → P を実数値収縮条件 φ: ℝ₊ → ℝ₊ に変換する。
• 適切な条件下で、距離空間およびTVS-cone距離空間における不動点結果の同値性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のTVS-cone距離空間は、非線形スカラライゼーションを用いて標準的距離空間に位相的に埋め込めるか？
• RQ2 非線形スカラライゼーション関数 ξₑ が、TVS-cone距離空間における不動点問題を標準的距離空間に還元するのに十分な条件は何か？
• RQ3 TVS-cone距離空間における不動点定理のうち、スカラライゼーションによって自明に還元できないものは存在するか、すなわち、空間が位相的に同型であっても？
• RQ4 空間Eの位相を生成する半ノルムが、TVS-cone距離空間上での同等の距離位相の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 錐の単調性や正規性を仮定しない条件下で、Meir-Keeler型または準収縮型の定理をTVS-cone距離空間に一般化できるか？

主な発見

• 錐の正規性を仮定しない条件下でも、任意のTVS-cone距離空間は第一可算かつパラコンパクトな位相空間である。
• 非線形スカラライゼーション関数 ξₑ を用いることで、TVS-cone距離空間は標準的距離空間と位相的に同型である。
• E がバナッハ空間であるとき、半ノルムによって誘導される距離位相は、元のTVS-cone距離位相と同値である。
• 増大関数であり、ξₑ(φ(e)) < 1 を満たす非線形収縮条件 φ: P → P は、実数値収縮条件 φ(t) < t に変換可能である。
• d(Tx,Ty) ≤ d(x,y) − φ(d(x,y)) という条件を含む不動点定理は、スカラライゼーションによって標準的距離空間に還元できない、TVS-cone距離空間固有のものである。
• 非位相的性質に依存する特定の収縮条件（例：錐の正則性や特定の順序構造を要件とするもの）に対しては、非線形スカラライゼーション手法は失敗する。