[論文レビュー] ON SOME UNIVERSAL σ-FINITE MEASURES AND SOME EXTENSIONS OF DOOB'S OPTIONAL STOPPING THEOREM

Joseph Najnudel, Ashkan Nikeghbali|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、技術的条件を満たす任意のクラス(Σ)の下 martingale に対して、σ-有限測度 Q を一般に構成する。ここで、g はゼロへの最後の到達時刻である。任意の t ≥ 0 および Λt ∈ Ft に対して、Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt] が成り立つ。この結果は、ドゥーブのoptional stopping定理を、有界な停止時刻に対しても成り立つように拡張し、マダーン、ロイネット、ヨールが提起した、ブラック・ショールズの公式と最後到達時刻との関係に関する問題を解決する。

ABSTRACT

Abstract. In this paper, we associate, to any submartingale of class (Σ), defined on a filtered probability space (Ω, F, P, (Ft)t≥0), which satisfies some technical conditions, a σ-finite measure Q on (Ω, F), such that for all t ≥ 0, and for all events Λt ∈ Ft: Q[Λt, g ≤ t] = EP[1ΛtXt] where g is the last hitting time of zero of the process X. This measure Q has already been defined in several particular cases, some of them are involved in the study of Brownian penalisation, and others are related with problems in mathematical finance. More precisely, the existence of Q in the general case solves a problem stated by D. Madan, B. Roynette and M. Yor, in a paper studying the link between Black-Scholes formula and last passage times of certain submartingales. Moreover, the equality defining Q remains true if one replaces the fixed time t by any bounded stopping time. This generalization can be viewed as an extension of Doob’s optional stopping theorem. 1.

研究の動機と目的

• 技術的条件を満たすクラス(Σ)の下 martingale に対して、(Ω, F) 上に σ-有限測度 Q を構成すること。
• 任意の t ≥ 0 および Λt ∈ Ft に対して、Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt] であるという恒等式を確立すること。ここで g はゼロへの最後の到達時刻である。
• この恒等式を固定時刻から有界な停止時刻へ一般化し、ドゥーブのoptional stopping定理を拡張すること。
• マダーン、ロイネット、ヨールが提起した、ブラック・ショールズの公式と下 martingale の最後到達時刻との関係に関する未解決問題を解消すること。
• ブラウン運動のペナルティ化や数学的ファイナンスに関連する特殊ケースにおける既存の Q の構成を統一・一般化すること。

提案手法

• 任意の t ≥ 0 および Λt ∈ Ft に対して、Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt] という恒等式により、(Ω, F) 上に σ-有限測度 Q を定義する。
• 下 martingale X がゼロに到達する最後の時刻 g を用いて、g までの時間間隔に沿って測度 Q を構造化する。
• クラス(Σ)の下 martingale に対する技術的条件のもとで、Q が適切に定義され、σ-有限であることを検証する。
• 固定時刻 t から有界な停止時刻 τ へ恒等式を拡張し、Q[Λτ, g ≤ τ] = E^P[1_Λτ Xτ] を示す。
• 下 martingale の性質と optional sampling 技法を活用して、拡張の妥当性を検証する。
• 結果を用いて、ブラック・ショールズの公式と最後到達時刻に関する文献における未解決問題を解決する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 技術的条件を満たす任意のクラス(Σ)の下 martingale に対して、任意の t ≥ 0 および Λt ∈ Ft に対して Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt] を満たすように、σ-有限測度 Q を体系的に構成できるか？
• RQ2 Q を定義する恒等式は、固定時刻 t から有界な停止時刻 τ へ拡張可能であり、結果としてドゥーブのoptional stopping定理が一般化されるか？
• RQ3 この構成は、マダーン、ロイネット、ヨールが提起した、ブラック・ショールズの公式と下 martingale の最後到達時刻との関係に関する未解決問題をどのように解消するか？
• RQ4 ゼロへの最後の到達時刻 g が、標本空間上での測度 Q の定義において果たす役割は何か？
• RQ5 この一般化された構成は、ブラウン運動のペナルティ化と数学的ファイナンスにおける既存の結果をどのように統合・一般化するか？

主な発見

• 任意の t ≥ 0 および Λt ∈ Ft に対して、Q[Λt, g ≤ t] = E^P[1_Λt Xt] を満たすように、(Ω, F) 上に σ-有限測度 Q が構成された。ここで g は下 martingale X がゼロに到達する最後の時刻である。
• 固定時刻 t を任意の有界な停止時刻 τ に置き換えても、Q を定義する恒等式が成立することが保証され、ドゥーブのoptional stopping定理が拡張された。
• マダーン、ロイネット、ヨールが提起した、ブラック・ショールズの公式と下 martingale の最後到達時刻との関係に関する未解決問題が、この構成によって解消された。
• 測度 Q は、ブラウン運動のペナルティ化や数学的ファイナンスの特殊ケースで既に知られていた構成を一般化している。
• この結果は、下 martingale の挙動、最後到達時刻、金融商品価格公式との間の厳密な測度論的枠組みを確立した。
• この手法により、クラス(Σ)の下 martingale を σ-有限測度を用いて統一的に分析する方法が提供され、確率過程の解析的ツールが強化された。