[論文レビュー] On Some Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers for Quadrilateral

Janusz Dybizbański, Tomasz Dzido+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、4色二部グラフラマーリー数の正確な値を決定し、$ b_4(2) = 19 $ を証明するとともに、$ b_k(2) $ について新たな境界を確立し、特に $ 26 \leq b_5(2) \leq 28 $ を得た。また、射影平面および組合せデザインからの構成を用いて、$ n \leq 21 $ について正確なZarankiewicz数 $ z(n) $ を導出し、今後は $ n = 22 $ が最初の未解決ケースとなった。

ABSTRACT

The Zarankiewicz number $z(m,n;s,t)$ is the maximum number of edges in a subgraph of $K_{m,n}$ that does not contain $K_{s,t}$ as a subgraph. The bipartite Ramsey number $b(n_1, \\cdots, n_k)$ is the least positive integer $b$ such that any coloring of the edges of $K_{b,b}$ with $k$ colors will result in a monochromatic copy of $K_{n_i,n_i}$ in the $i$-th color, for some $i$, $1 \\le i \\le k$. If $n_i=m$ for all $i$, then we denote this number by $b_k(m)$. In this paper we obtain the exact values of some Zarankiewicz numbers for quadrilateral ($s=t=2$), and we derive new bounds for diagonal multicolor bipartite Ramsey numbers avoiding quadrilateral. In particular, we prove that $b_4(2)=19$, and establish new general lower and upper bounds on $b_k(2)$.

研究の動機と目的

• 小さな $ n $ に対してZarankiewicz数 $ z(n) $ の正確な値を、極値グラフ構成を活用することで決定すること。特に $ n \leq 21 $ について。
• 4色二部グラフラマーリー数 $ b_4(2) $ の正確な値を計算し、この系列において最初の未解決事例を解消すること。
• 特に $ k = 5 $ の場合に、多色二部グラフラマーリー数 $ b_k(2) $ の新たな一般的下界および上界を導出すること。
• 射影平面からの既知の極値グラフ構成を準射影的構成へ拡張し、$ n = q^2 + q + 1 - h $、$ h \leq 4 $ に対して $ z(n) $ のより緊密な境界を得ること。
• 極値グラフ $ z(18) $ の一意性を構成的証明により示し、それがSteiner三元系に基づく既知の構成と同型であることを示すこと。

提案手法

• 射影平面の位数 $ k $ におけるインシデント構造を用いて $ C_4 $-自由な二部グラフを構成し、$ n = k^2 + k + 1 - h $、$ h \leq 4 $ に対して $ z(n) $ の下界を得た。
• Zarankiewiczの上界公式 $ z(m,n) \leq m/2 + \sqrt{m^2 + 4mn(n-1)}/2 $ を適用し、$ C_4 $-自由グラフにおける辺数の理論的上限を導出した。
• コンピュータ支援アルゴリズムを用いて、$ z(18) $ の極値グラフの一意性を検証し、9点のSteiner三元系に基づくデザイン構成と一致することを確認した。
• $ 3C_6 $、$ 9K_2 $、および対称部分グラフを組み合わせたブロック対角構造を用いて、$ K_{18,18} $ にモノクローラル $ C_4 $ を含まない4色分けを構成し、モノクローラル四角形が発生しないことを証明した。
• 最初の2色を固定した後、二部グラフの補グラフに対するSATソルバを用いて4色分けを完了させ、モノクローラル $ C_4 $ が形成されないことを保証した。
• 対称性と同型削減を用いて非同型な4色分けを同定し、8通りの色分けが存在し、すべて構成された $ \mathcal{D} $-色分けと同型であることを同定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4色二部グラフラマーリー数 $ b_4(2) $ の正確な値は何か？ また、構成的に行えるか？
• RQ2 $ n \leq 21 $ におけるZarankiewicz数 $ z(n) $ の正確な値は何か？ そして、有限幾何学からの極値グラフ構成とどのように関係するか？
• RQ3 $ b_k(2) $ の最も緊密な既知の境界は何か？ 特に $ k = 5 $ の場合で、$ b_5(2) $ の正確な値はおそらく何か？
• RQ4 極値グラフ $ z(18) $ は一意に特徴付けられるか？ また、既知のデザインに基づく構成と同型であるか？
• RQ5 SATソルバと組合せデザイン理論をどのように組み合わせて、モノクローラル $ C_4 $ を避ける完全二部グラフの辺色分けを構成できるか？

主な発見

• 本稿は $ b_4(2) = 19 $ を証明し、四角形の対角多色二部グラフラマーリー数系列において最初の未解決事例を解消した。
• $ z(18) $ が正確に 81 であることを示し、極値グラフは同型を除いて一意であり、位数4の射影平面のインシデント構造から特定の部分グラフを削除した構成と一致する。
• 本稿は、すべての $ n \leq 21 $ について $ z(n) $ の正確な値を計算し、今後は $ n = 22 $ が最初の未解決ケースとなった。また、$ n = k^2 + k + 1 - h $、$ h \leq 4 $ に対して、$ k^3 + 2k^2 + \cdots $ の形で下界を明示的に与えた。
• $ k = 5 $ の場合、$ 26 \leq b_5(2) \leq 28 $ の境界を確立し、構造的および計算的証拠に基づき $ b_5(2) = 28 $ を予想した。
• 構成された $ K_{18,18} $ の4色分け $ \mathcal{D} $ は各色に81本の辺を持ち、すべての色が同型な $ C_4 $-自由グラフを誘導し、モノクローラル $ C_4 $ が発生しない。これにより $ b_4(2) = 19 $ が確認された。
• 本稿は、極値グラフ $ z(18) $ が9点のSteiner三元系から得られる構成と同型であることを確認した。また、この構造が4色分け $ \mathcal{D} $ の背後に存在することを示した。