[論文レビュー] On source coupling and the teleparallel equivalent to GR

Lau Loi So, James M. Nester|ArXiv.org|Dec 11, 2006

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ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論（GR）とそのトランスポート平行化形式（TEGR）の間で、完全な動力学的および作用レベルの同等性を確立し、スピンルスを含むすべての源が補助場を必要とせずに、トランスポート平行化枠組みに一貫して結合可能であることを示している。Riemann接続Γを接続のずれを用いてトランスポート平行接続̄Γに再表現することで、GRの場の運動方程式と作用をトランスポート平行幾何に再定式化し、著者らはTEGRがスカラー場やゲージ場に限られないことを証明した。これにより、源の結合に関する従来の懸念が解消された。

ABSTRACT

Alternatives to the usual general relativity (GR) Riemannian framework include Riemann-Cartan and teleparallel geometry. The ``teleparallel equivalent of GR" (TEGR, aka GR${}_{||}$) has certain virtues, however there have been allegations of serious source coupling limitations. Now it is quite straightforward to show that the coupled dynamical field equations of Einstein's GR with any source can be accurately represented in terms of any other connection, in particular teleparallel geometry. Using an argument similar to one used long ago to show the "effective equivalence" between GR and the Einstein-Cartan theory, we construct the teleparallel action which is equivalent to a given Riemanian one; thereby finding the ``effectively equivalent" coupling principle for all sources, including spinors. No auxiliary field is required. Can one decide which is the real "physical" geometry? Invoking the minimal coupling principle may give a unique answer.

研究の動機と目的

• 長年の懸念である、一般相対性理論のトランスポート平行形式（TEGR）がスピンルス場やその他のスカラーでない源に一貫して結合できないという問題を解決すること。
• Riemann幾何におけるGRの運動方程式を、追加のテンソル場を導入せずに、トランスポート平行幾何に完全に再定式化すること。
• 任意の源（フェルミオンを含む）に対して、GRと同一の運動方程式を再現する同等のトランスポート平行作用を構築すること。
• 最小結合原理が、Riemann的およびトランスポート平行的枠組みの間で物理的に好ましい幾何を区別する可能性があることを示すこと。
• 曲率なし・トランスポート平行（TEGR）幾何と、トランスポート平行なし・曲率あり（GR）幾何の間には、物理的実験では区別できないことを確立すること。

提案手法

• 接続のずれを用いてRiemann接続Γをトランスポート平行接続̄Γに変換し、̄Γ = Γ + Kを満たす。ここでKはコンターリングテンソルである。
• ヒルベルト＝アインシュタイン作用を、トランスポート平行接続に基づいて再表現し、リーマン曲率スカラーをトランスポートテンソルの組み合わせと全微分項に置き換える。
• トランスポート平行幾何を保つために、トランスポート平行曲率R̄ = 0を強制するためのラグランジュ乗数場λを用いる。
• 元のGR作用に接続のずれを代入し、全微分項を除去することで、同等のトランスポート平行作用を導出する。
• 得られたトランスポート平行作用が、ビーム、接続、源場、乗数に対して変分をとった際に、GRと同一の運動方程式を導出することを検証する。
• エネルギー運動量および角運動量保存則に対しても同様の変換を適用し、すべての保存量において整合性が保たれることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のトランスポート平行形式（TEGR）は、補助場を必要とせずに、スピンルス場を含むすべての種類の物質に一貫して結合可能か？
• RQ2 任意の源に対して、GRとTEGRの場の運動方程式および作用の間に一対一の対応関係が存在するか？
• RQ3 最小結合原理が、物理的整合性の観点から、Riemann的枠組みかトランスポート平行枠組みかのどちらかを物理的に好ましい幾何として選ぶ基準になり得るか？
• RQ4 GRの運動方程式を、物理的内容を保持したまま、完全にトランスポート平行形式に書き換えることができるか？
• RQ5 TEGRがスカラー場やゲージ場にのみ適用可能であるという主張は、妥当な懸念であるか、それとも不完全な定式化に起因する誤解であるか？

主な発見

• 場の運動方程式と作用を適切に再定式化した場合、一般相対性理論（GR）とそのトランスポート平行形式（TEGR）は、スピンルスを含むすべての源に対して完全に同等である。
• 補助テンソル場を一切導入せず、従来の非最小結合や場の増幅に関する懸念が解消された。
• 接続のずれΓ → ̄Γ + Kを用いて導出されたトランスポート平行作用は、ラグランジュ乗数によって曲率制約が強制されるが、GRと同一の運動方程式を再現する。
• 得られたトランスポート平行作用には、ビーム、トランスポート平行接続、源場、乗数のみが含まれ、追加の自由度は存在しない。
• 運動方程式および保存量のレベルで同等性が成立し、両者の幾何的定式化の間に物理的差異がないことが確認された。
• 最小結合原理は、物理的に好ましい幾何を特定する基準として機能する可能性があり、一方の枠組みで最小結合であるものが、他方では非最小結合となることが多い。