[論文レビュー] On Spacetimes with Given Kinematical Invariants: Construction and Examples

Matthias Plaue, Mike Scherfner+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固有時間記述における微分方程式を解くことにより、所望の運動的不変量（歪み、回転、拡張、加速度）を持つ宇宙論的時空を体系的に構築する手法を提示する。この手法により、加速度がゼロであるものとパララックスフリーであるものの2つの新しいゴーデル時空の一般化が得られ、運動的制約が幾何学的構造と因果関係に与える影響、特に特定の初期条件のもとで閉じた時空的曲線を回避する仕組みが示された。

ABSTRACT

We present a useful method for the construction of cosmological models by solving the differential equations arising from calculating the kinematical invariants (shear, rotation, expansion and acceleration) of an observer field in proper time description. As an application of our method we present two generalizations of the Gödel spacetime that follow naturally from our approach.

研究の動機と目的

• 剪断、回転、拡張、加速度といった指定された運動的不変量を持つ時空を構築するための手法を開発すること。
• 剪断がゼロであるか、回転が非ゼロであるといった運動的制約を満たさねばならない宇宙論的・天体物理学的系をモデル化する課題に取り組むこと。
• このような制約が引き起こす幾何学的および因果的結果、特に閉じた時空的曲線とエネルギー条件との関係を明らかにすること。
• 対称性を緩和しつつも、非ゼロの回転と非ゼロのエネルギー密度といった主要な物理的特徴を保持する形で、ゴーデル時空を一般化すること。
• 観測的または理論的制約を運動的量に直接組み込むことで、妥当な宇宙論的モデルを構築するためのツールキットを提供すること。

提案手法

• 宇宙観測者場を $ X^i = \delta^i_0 $ と固定することで、固有時間記述を用い、計量成分と結合微分を単純化する。
• 回転 $ \omega_{ik} $、歪み $ \sigma_{ik} $、拡張 $ \Theta $、加速度 $ \dot{X}_i $ といったすべての運動的不変量を、計量成分 $ g_{ik} $ の空間的および時間的微分で表現する。
• 空間射影テンソル $ P_{ik} $ を用いた分解式 $ \nabla_k X_i = \omega_{ik} + \sigma_{ik} + \frac{1}{N}\Theta P_{ik} - \dot{X}_i X_k $ を用いて、運動的不変量の明示的微分方程式を導出する。
• この手法を用いて、加速度がゼロであるものとパララックスフリーであるものの2つの新しい解を構築する。両者ともゴーデル計量の一般化である。
• 対称性の仮定を課し、得られた偏微分方程式系を解いて、例えば加速度ゼロの場合の $ g_{ik} = \text{diag}(1, e^{\frac{2}{3}\Theta t}, e^{\frac{2}{3}\Theta t}, -e^{\frac{2}{3}\Theta t}) $ といった明示的計量を導出する。
• スylvesterの基準を用いて空間計量の負定値性を評価することで、因果性を解析する。具体的には、$ x^0(s) $ の極値点における条件 $ g_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds} < 0 $ を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剪断、回転、拡張、加速度といった所与の運動的不変量を持つ時空を、どのように体系的に構築できるか？
• RQ2 加速度がゼロで非ゼロの回転を有する一般化されたゴーデル時空の幾何学的および因果的性質は何か？
• RQ3 どのような初期条件下で、特に閉じた時空的曲線を含む因果違反領域を避けることができるか？
• RQ4 運動的制約はエネルギー運動量テンソルおよびそれによる物質内容（熱フラックス、異方的圧力など）にどのように影響を与えるか？
• RQ5 パララックスフリー条件を、対称性を保ちつつ特異性（例えば閉じた時空的曲線）を避ける形で自然に一般化できるか？

主な発見

• 加速度ゼロのゴーデル計量の一般化は $ g_{ik} = \text{diag}(1, e^{\frac{2}{3}\Theta t}, e^{\frac{2}{3}\Theta t}, -e^{\frac{2}{3}\Theta t}) $ で与えられ、$ \Theta = 0 $ のとき元のゴーデル計量に還元される。
• $ \Lambda = -\frac{\Theta^2}{3} $ のとき、モデルは剛性物質流体を記述し、$ \epsilon = p = \frac{\omega_0^2}{\kappa} e^{-\frac{2}{3}\Theta t} $、非ゼロの異方的圧力、熱フラックスを有する。
• エネルギー密度が非負であるためには $ \Lambda \leq -\frac{\Theta^2}{3} $ でなければならない。これは、拡張に対する宇宙定数の物理的上限を示している。
• 閉じた時空的曲線は $ |\Theta(0)| \geq 3|\omega_0| $ のとき回避可能であり、$ \frac{27}{16}|\omega_0| < |\Theta(0)| < 3|\omega_0| $ のとき周期的に因果違反領域に入り込む。
• パララックスフリーな一般化は、キリングベクトル場を共形ベクトル場に緩和することで自然に得られ、対称性を保持しつつ非ゼロの拡張を許容する。
• 加速度のノルムは $ \dot{X}_a \dot{X}^a = -\frac{2}{9}\Theta^2 $、回転スカラーは $ \omega_{ab}\omega^{ab} = 2\omega_0^2 e^{-\frac{2}{3}\Theta t} $ であり、両者とも解において明示的に計算された。