[論文レビュー] On special types of minimal and totally geodesic unit vector fields

Alexander Yampolsky|ArXiv.org|Sep 30, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体上の単位ベクトル場が、ササキ計量を備えた単位接束に埋め込まれたとき、その像が完全測地的であることを特徴付ける新しい微分方程式を導入する。球面上の共変的に正規な単位ベクトル場の中で、完全測地的部分多様体を生成するのは、唯一ホップベクトル場であることを証明し、球面上の測地的単位ベクトル場がこのような部分多様体を生成するための必要十分条件を提示する。主な結果として、$ S^{2m+1} $ 上のホップベクトル場は、$ \varphi $-曲率が 5/4 の完全測地的ササキアン空間形式として、単位接束に完全測地的に埋め込まれることを示している。

ABSTRACT

We present a new equation with respect to a unit vector field on Riemannian manifold $M^n$ such that its solution defines a totally geodesic submanifold in the unit tangent bundle with Sasaki metric and apply it to some classes of unit vector fields. We introduce a class of covariantly normal unit vector fields and prove that within this class the Hopf vector field is a unique global one with totally geodesic property. For the wider class of geodesic unit vector fields on a sphere we give a new necessary and sufficient condition to generate a totally geodesic submanifold in $T_1S^n$.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上の単位ベクトル場が、ササキ計量を備えた単位接束に完全測地的部分多様体を生成するための必要十分条件を特定すること。
• 特に球面上で、測地的かつ完全測地的であるような単位ベクトル場の特別な幾何的性質を分析すること。
• 強正規および共変的に正規なベクトル場のクラス内でのこのようなベクトル場の分類を確立すること。
• $ S^{2m+1} $ 上のホップベクトル場が、単位接束に完全測地的ササキアン空間形式を誘導することを示すこと。

提案手法

• 補題 2.2 で、単位ベクトル場がササキ計量を備えた単位接束に完全測地的部分多様体を誘導する条件を特徴付ける新しい微分方程式を導出する。
• 共変的に正規な単位ベクトル場の概念を導入し、完全測地的条件を解析可能なベクトル場のクラスを制限するために用いる。
• 一般条件を球面 $ S^{n+1} $ に適用し、問題をベクトル場の曲率および形状作用素 $ A_\xi $ の解析に還元する。
• 単位接束 $ T_1M^n $ におけるほぼ接触構造、特に $ T_1S^{n+1} $ に誘導される構造を用いて、像部分多様体の幾何的性質を解釈する。
• 非可換形状作用素 $ A_\xi = -\nabla \xi $ 及びその共変微分を用いて、幾何を支配するコダッチ型方程式を導出する。
• ホップベクトル場が導出された条件を満たすことを検証し、誘導された部分多様体の $ \varphi $-曲率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の単位ベクトル場が、ササキ計量を備えた単位接束に完全測地的部分多様体を誘導するための必要十分条件は何か？
• RQ2 球面 $ S^{n+1} $ 上で、測地的かつ完全測地的であるような単位ベクトル場はどれか？また、それらが満たす幾何的制約は何か？
• RQ3 ホップベクトル場は、共変的に正規なベクトル場のクラスの中で、一意にグローバルに完全測地的であるか？
• RQ4 ベクトル場 $ \xi $ がホップベクトル場であるとき、部分多様体 $ \xi(S^{2m+1}) \subset T_1S^{2m+1} $ の内在的曲率は何か？
• RQ5 部分多様体 $ \xi(S^{2m+1}) $ に誘導されるほぼ接触構造は、環境のササキアン構造 $ T_1S^{2m+1} $ とどのように関係しているか？

主な発見

• $ S^{2m+1} $ 上のホップベクトル場は、共変的に正規なベクトル場のクラスの中で、一意にグローバルに完全測地的である。
• $ S^{n+1} $ 上の単位測地的ベクトル場 $ \xi $ は、$ n=2m $ かつ $ \xi $ が強正規かつ不変であるときに限り、完全測地的である。
• ホップベクトル場の標準埋め込み $ \xi: S^{2m+1} \to T_1S^{2m+1} $ による像は、完全測地的部分多様体であり、ササキアン構造を誘導する。
• 誘導されたササキアン空間形式 $ \xi(S^{2m+1}) $ の $ \varphi $-曲率は 5/4 に等しい。
• 部分多様体 $ \xi(S^{2m+1}) $ は $ T_1S^{2m+1} $ 内で不変かつ完全測地的であり、環境空間 $ T_1S^{2m+1} $ はササキアン多様体である。
• 本稿は、ホップベクトル場が、より高い $ \varphi $-曲率を有するササキアン多様体内に完全測地的部分多様体として埋め込まれるグローバルな例を確認している。