[論文レビュー] On spectral asymptotics of the tensor product of operators with almost regular marginal asymptotics

Nikita Rastegaev|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2018

advanced mathematical theories参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ほとんど正則な端末固有値挙動を示すコンパクト自己随伴作用素のテンソル積のスペクトル漸近挙動を一般化し、やや緩い条件下でテンソル積がほとんど正則な漸近挙動を継承することを示している。主な結果として、ガウス型確率場の小球確率に対する正確な対数漸近挙動が確立され、フラクタル測度を有するブラウン運動のシートや関連プロセスに関する先行研究が拡張されている。

ABSTRACT

Spectral asymptotics of a tensor product of compact operators in Hilbert space with known marginal asymptotics is studied. Methods of A. Karol', A. Nazarov and Ya. Nikitin (Trans. AMS, 2008) are generalized for operators with almost regular marginal asymptotics. In many (but not all) cases it is shown, that tensor product has almost regular asymptotics as well. Obtained results are then applied to the theory of small ball probabilities of Gaussian random fields.

研究の動機と目的

• 正則な漸近挙動を超えて、ほとんど正則な端末固有値挙動を示す作用素のテンソル積のスペクトル漸近挙動理論を拡張すること。
• ほとんど正則な固有値漸近挙動を示す2つの作用素のテンソル積が、同様にほとんど正則なスペクトル挙動を示す条件を同定すること。
• 得られたスペクトル漸近挙動を、自己相似的またはフラクタル的測度を有するガウス型確率場の小球確率問題に応用すること。
• ブラウン運動のシートやグリーン過程に関する先行結果を、スペクトル数え上げ関数に周期的フラクチュエーションを有するガウス型場の広いクラスへ一般化すること。

提案手法

• Karol, Nazarov, and Nikitin (2008) の手法を一般化し、固有値が $\lambda_n \sim \frac{\psi(n) \cdot \mathfrak{s}(\ln n)}{n^p}$ の形に漸近する作用素（$\psi$ は緩やかに変化する関数、$\mathfrak{s}$ は周期的関数）を取り扱えるようにする。
• $t \to 0^+$ のときの数え上げ関数 $\mathcal{N}(t, \mathcal{T} \otimes \widetilde{\mathcal{T}})$ の漸近挙動を、ほぼメリン型積分の畳み込みを用いて分析する。
• 相対的なべき乗パラメータ $p$ と $\widetilde{p}$、および緩やかに変化する関数を含む積分の収束性に基づいて、得られる漸近挙動をケースに分類する。
• 固有値漸近挙動と数え上げ関数漸近挙動の等価性を用いる：$\mathcal{N}(t) \sim \frac{\varphi(1/t) \cdot s(\ln(1/t))}{t^{1/p}}$（$\varphi$ は緩やかに変化する関数、$s$ は周期的関数）。
• スペクトル結果をガウス型場に応用する際には、共分散作用素のスペクトル漸近挙動と対数小球確率の間の関係を利用する。
• $\varepsilon \to 0$ のときの $\ln \mathbf{P}(\|Z\|_{\mu} \leq \varepsilon)$ の明示的漸近形を、周期的関数およびべき乗対数補正項を含めて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのコンパクト作用素がほとんど正則な固有値漸近挙動を示す場合、そのテンソル積がほとんど正則なスペクトル挙動を継承する条件は何か？
• RQ2 相対的なべき乗パラメータ $p$ と $\widetilde{p}$、およびスペクトルフラクチュエーションの周期性が、テンソル積の固有値数え上げ関数の漸近構造にどのように影響するか？
• RQ3 共分散作用素がほとんど正則なスペクトル挙動を示すガウス型確率場の小球確率の正確な漸近形は何か？
• RQ4 周期が無理数比である場合、または退化した周期的成分が存在する場合、テンソル積のスペクトル漸近挙動にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 固有値漸近挙動が $\lambda_n \sim \frac{\psi(n) \cdot \mathfrak{s}(\ln n)}{n^p}$ の形である2つの作用素のテンソル積は、$\widetilde{p} > p$ または $\widetilde{p} = p$ かつ積分が発散し、周期が可約（共通周期を有する）場合、ほとんど正則なスペクトル漸近挙動を継承する。
• 周期的成分の周期が無理数比（非可約）である場合、テンソル積のスペクトル漸近挙動は正則化され（周期的成分が定数に退化する）、ほとんど正則でなくなる。
• $\int_1^\infty \varphi(\sigma) \frac{d\sigma}{\sigma}$ の積分の1つ以上が収束する場合、得られる漸近挙動はより複雑になり、対数補正項が現れる。
• 一般化されたカントール測度を有するブラウン運動のシートに対して、小球確率は $\ln \mathbf{P}(\|\mathbb{W}_d\|_{\mu} \leq \varepsilon) \sim -\varepsilon^{-2\log_3 2} \ln^{(d-1)\log_3 6}(1/\varepsilon) \zeta(\ln(1/\varepsilon))$ を満たす。ここで $\zeta$ は $\frac{\ln 3}{2}$-周期関数である。
• 小球確率の漸近形は、最小のべき乗指数 $\mathfrak{p}$ を有する作用素の数 $\mathfrak{d}$ に依存し、テンソル積の周期的成分は反復的な畳み込み公式を適用することで得られる。