[論文レビュー] On spectral polynomials of the Heun equation. II

Boris Shapiro, Kouichi Takemura+1 more|ArXiv.org|Apr 3, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ヘン方程式のヴァン・ヴレック多項式の根の漸近的分布に関する予想を証明する。$ n \to \infty $ のとき、スペクトル多項式の根はコンパクト集合 $ \Gamma_Q $ に台を持つ極限確率測度に弱収束する。$ \Gamma_Q $ は、立方多項式 $ Q(z) $ の3つの根を結ぶ3つの曲線の和集合であり、それぞれが実アーベル積分条件によって定義される。極限測度は、コーシー変換およびリーマン＝ヒルベルト問題の解の $ \bar{z} $-微分によって特徴づけられる。

ABSTRACT

The well-known Heun equation has the form: Q(z)S''(z)+P(z)S'(z)+V(z)S(z)=0 where Q(z) is a cubic complex polynomial, P(z) and V(z) are polynomials of degrees at most 2 and 1 resp. One of the classical problems about the Heun equation is for a given positive integer N to find all possible linear polynomials V(z) such that the latter equation has a polynomial solution S(z) of degree N. Below we prove a conjecture of the 2nd author claiming that the union of roots of such V(z)'s for a given N tends when N->oo to a certain compact connecting the three roots of Q(z) and given by the condition that a certain natural abelian integral is real-valued.

研究の動機と目的

• ヘン方程式のヴァン・ヴレック多項式の根の漸近的分布に関する予想を、次数 $ n \to \infty $ のとき解明すること。
• ヘン方程式に関連するスペクトル多項式の根数測度の極限的台を特徴づけること。
• 極限測度が、$ Q(z) $ の根に特異点をもつ特定のモノドロミーをもつリーマン＝ヒルベルト問題の解から生じることを確立すること。
• 極限測度が立方多項式 $ Q(z) $ によって一意に定まり、$ P(z) $ とは独立であり、$ Q(z) $ の3つの根を結ぶ3つの曲線の和集合に台を持つこと。

提案手法

• ヘン方程式の次数 $ n $ の解を与えるすべてのヴァン・ヴレック多項式 $ V(z) $ の根の積として、スペクトル多項式 $ Sp_n(\lambda) $ を定義する。
• スペクトル多項式 $ Sp_n(\lambda) $ の根 $ t_{n,j} $ から、根数測度 $ \mu_n = \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} \delta(t_{n,j}) $ を構成し、確率測度の列を得る。
• コンパクト性と部分列の極限の一意性を用いて、$ \{\mu_n\} $ の弱収束を証明する。
• 極限測度 $ \mu $ の台 $ \Gamma_Q $ を、3つの曲線 $ \Gamma_i $ の和集合として特徴づけ、それぞれが他の2つの根間の区間を渡るあるアーベル積分が実数値をとるという条件によって定義されることを示す。
• 測度 $ \mu $ のコーシー変換が、$ Q(z) $ の根および無限大でのみ特異点を持つリーマン＝ヒルベルト問題を満たすことを示す。
• コーシー変換の $ \bar{z} $-微分（すなわち、測度 $ \mu $ の密度）が $ \Gamma_Q \setminus \{b_0\} $ で消えないことを示し、$ \Gamma_Q $ が $ \mu $ の完全な本質的台であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘン方程式のスペクトル多項式の根数測度 $ \mu_n $ は、$ n \to \infty $ のとき弱収束するか？
• RQ2 これらの測度の極限的台の正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 極限測度 $ \mu $ は立方多項式 $ Q(z) $ の根とどのように関係するか？
• RQ4 極限測度は、リーマン＝ヒルベルト問題の解またはアーベル積分によって特徴づけられるか？
• RQ5 極限測度の台 $ \Gamma_Q $ は、$ Q(z) $ の3つの根を結ぶ3つの曲線の和集合であり、それぞれが実アーベル積分条件によって定義されるか？

主な発見

• 根数測度の列 $ \{\mu_n\} $ は、$ n \to \infty $ のとき、極限確率測度 $ \mu $ に弱収束する。これは、2番目の著者の予想を解決する。
• 測度 $ \mu $ の台はコンパクト集合 $ \Gamma_Q $ であり、これは3つの曲線 $ \Gamma_i $ の和集合として定義される。各曲線 $ \Gamma_i $ は、$ Q(z) $ の1つの根 $ a_i $ を、共通の内部点 $ b_0 $ に結ぶ。各曲線は、他の2つの根間の区間を渡るあるアーベル積分が実数値をとるという条件によって定義される。
• 極限測度 $ \mu $ は $ Q(z) $ によって一意に定まり、$ P(z) $ とは独立である。これは、ヘン方程式の漸近的根分布が、方程式の最高次の項にのみ依存することを示唆する。
• 測度 $ \mu $ のコーシー変換は、$ a_1, a_2, a_3 $ および $ \infty $ のみに特異点を持つリーマン＝ヒルベルト問題を満たし、各有限根で非自明なモノドロミーを持つ。
• 測度 $ \mu $ の密度（コーシー変換の $ \bar{z} $-微分）は、$ \Gamma_Q \setminus \{b_0\} $ で消えないため、$ \Gamma_Q $ が $ \mu $ の完全な本質的台であることが確認される。
• 極限測度 $ \mu $ は、スペクトル多項式 $ Sp_n(\lambda) $ の根数測度の弱極限であり、その台 $ \Gamma_Q $ は、実アーベル積分条件を満たす3つの根を結ぶ唯一のコンパクト集合である。