[論文レビュー] On spectral radius of strongly connected digraphs

J. Li, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Graph theory and applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$ n \geq 4 $ に対して、強連結な有向グラフの中で第二、第三、第四に小さいスペクトル半径を持つものを特定し、$ \theta(0,1,n-3) $、強連結な二重サイクル有向グラフの中で最小のスペクトル半径を達成する有向グラフが、すべての強連結有向グラフの中で第二に小さいスペクトル半径を達成するという予想を肯定的に解決する。結果は、隣接行列のスペクトル解析と部分有向グラフの構造的制約を用いて得られ、特性多項式と単調性の議論により、極値有向グラフの正確な特徴づけがなされている。

ABSTRACT

We determine the digraphs which achieve the second, the third and the fourth minimum spectral radii respectively among strongly connected digraphs of order $n\ge 4$, and thus we answer affirmatively the problem whether the unique digraph which achieves the minimum spectral radius among all strongly connected bicyclic digraphs of order $n$ achieves the second minimum spectral radius among all strongly connected digraphs of order $n$ for $n\ge 4$ proposed in [H. Lin, J. Shu, A note on the spectral characterization of strongly connected bicyclic digraphs, Linear Algebra Appl. 436 (2012) 2524--2530]. We also discuss the strongly connected bicyclic digraphs with small and large spectral radii respectively.

研究の動機と目的

• 問題 1.1 を解決すること。すなわち、$ n \geq 4 $ に対して、$ \theta(0,1,n-3) $ がすべての $ n $ 頂点の強連結有向グラフの中で第二に小さいスペクトル半径を達成するかどうかを問う。
• すべての $ n \geq 4 $ 頂点の強連結有向グラフの中で、第二、第三、第四に小さいスペクトル半径を達成する一意な有向グラフを特徴づけること。
• すべての $ n \geq 4 $ 頂点の強連結二重サイクル有向グラフの中で、第二および第三に小さいスペクトル半径を達成するものを探すこと。
• $ n \geq 4 $ に対して、$ \mathbb{B}_n $ に属する有向グラフの中で第二に大きいスペクトル半径を達成する一意の有向グラフを特定すること。

提案手法

• 有向グラフ $ D $ のスペクトル半径 $ \rho(D) $ は、隣接行列 $ A(D) $ を用いて $ P(D,x) = \det(xI - A(D)) $ で与えられる特性多項式を用いて分析される。
• スペクトル半径を増加させるような部分有向グラフを除外するための構造的制約が、$ \theta(a,b,c) $ および $ \infty(k,l) $ の構成に基づく禁止部分有向グラフの議論を用いて導かれる。
• 補題 2.5 および補題 2.7 を用いて、スペクトル半径の単調性を確立し、$ \rho(\theta(0,2,n-4)) $ および $ \rho(\theta(0,n-2,0)) $ が $ n $ に関して厳密に減少することを示す。
• 特性多項式の比較が用いられ、$ x > 1 $ に対して $ P(D_1,x) - P(D_2,x) $ の符号解析により、スペクトル半径の順序が特定される。
• 理論的境界と、$ n = 5,6,7 $ に対して Maple を用いた直接計算を組み合わせることで、第二に大きいスペクトル半径のケースを解決する。
• Perron-Frobenius 定理により、$ \rho(D) $ は正の固有ベクトルを持つ単純固有値であることが保証され、これによりスペクトル優位性の議論が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \theta(0,1,n-3) $ は、$ n \geq 4 $ のすべての強連結有向グラフの中で第二に小さいスペクトル半径を達成するか？
• RQ2 $ n \geq 4 $ のすべての強連結有向グラフの中で、第二、第三、第四に小さいスペクトル半径を達成する一意な有向グラフは何か？
• RQ3 $ n \geq 4 $ の強連結二重サイクル有向グラフの中で、第二および第三に小さいスペクトル半径を達成するのはどの有向グラフか？
• RQ4 $ n \geq 4 $ に対して、$ \mathbb{B}_n $ に属する有向グラフの中で第二に大きいスペクトル半径を達成する一意の有向グラフは何か？

主な発見

• $ n \geq 4 $ に対して、有向グラフ $ \theta(0,1,n-3) $ はすべての強連結有向グラフの中で最小のスペクトル半径を達成する。これは以前の結果を確認するものである。
• $ n \geq 4 $ に対して、有向グラフ $ \theta(1,1,n-4) $ は、すべての強連結有向グラフの中で第三に小さいスペクトル半径を達成する一意の有向グラフである。
• $ n \geq 4 $ に対して、有向グラフ $ \theta(0,2,n-4) $ は、すべての強連結有向グラフの中で第四に小さいスペクトル半径を達成する一意の有向グラフである。
• $ n \geq 4 $ に対して、$ \theta(0,1,n-3) $ は第二に小さいスペクトル半径を達成する。これは問題 1.1 を肯定的に解決する。
• $ 5 \leq n \leq 7 $ に対して、有向グラフ $ \infty(3,n-2) $ は $ \mathbb{B}_n $ で第二に大きいスペクトル半径を達成するが、$ n = 4 $ および $ n \geq 8 $ に対しては $ \theta(0,n-2,0) $ がこの役割を果たす。
• $ \theta(0,n-2,0) $ のスペクトル半径は $ n $ に関して厳密に減少し、$ n \geq 8 $ に対しては $ \infty(3,n-2) $ のスペクトル半径よりも厳密に小さい。これにより、極値の順序が確認される。