[論文レビュー] On spectral representation of coalgebras and Hopf algebroids

J. Mrčun|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、多様体上のコンパクト台付き滑らか関数の代数上のエタールリー群コホドとホップ代数体の間に双対性を確立する。任意のこのようなホップ代数体から、スペクトル的エタールリー群コホドを構成し、その割当てが完全忠実かつ群コホド代数関手の左随伴であることを証明している。同型が成り立つのは、そのホップ代数体がこの構成によって群コホドから生じる場合に限る。

ABSTRACT

In this paper we establish a duality between etale Lie groupoids and a class of non-necessarily commutative algebras with a Hopf algebroid structure. For any etale Lie groupoid G over a manifold M, the groupoid algebra C_c(G) of smooth functions with compact support on G has a natural coalgebra structure over C_c(M) which makes it into a Hopf algebroid. Conversely, for any Hopf algebroid A over C_c(M) we construct the associated spectral etale Lie groupoid G_sp(A) over M such that G_sp(C_c(G)) is naturally isomorphic to G. Both these constructions are functorial, and C_c is fully faithful left adjoint to G_sp. We give explicit conditions under which a Hopf algebroid is isomorphic to the Hopf algebroid C_c(G) of an etale Lie groupoid G. We also demonstrate that an analogous duality exists between sheaves on M and a class of coalgebras over C_c(M).

研究の動機と目的

• 多様体上のコンパクト台付き滑らか関数の代数上のエタールリー群コホドとホップ代数体の間の双対性を確立すること。
• コンパクト台付き滑らか関数の群コホド代数にホップ代数体構造を備えたものから、エタールリー群コホドを再構成すること。
• ホップ代数体がエタールリー群コホドの群コホド代数として生じるための条件を特徴づけること。
• スぺクトル的構成を用いて、多様体上の層への双対性を拡張すること。

提案手法

• エタールリー群コホド G と多様体 M の上でのコンパクト台付き滑らか関数の空間にコアルゲブラ構造を定義し、C∞_c(M) 上のホップ代数体とする。
• 各ホップ代数体 A に対して、S-不変な弱群的元の集合を用いて、C∞_c(M) 上のスペクトル的エタールリー群コホド G_sp(A) を構成する。
• 各点 x ∈ M における商コアルゲブラ C_x = C / N_x(C) を用いて、スペクトル層 E_sp(C) の茎を C_x 内の群的元の集合として定義する。
• M 上の層と C∞_c(M) 上のコアルゲブラの間の函手的対応を確立し、C∞_c が E_sp に対して完全忠実かつ左随伴であることを示す。
• ホップ代数体 A がエタールリー群コホド G に対して C∞_c(G) に同型であるための必要十分条件は、S-不変な弱群的元が A を正規的に生成し、正規的に線形独立であることであることを証明する。
• 自然な写像 Θ_A: C∞_c(G_sp(A)) → A が、A が上記の条件を満たすときかつそのときに限り同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C∞_c(M) 上のホップ代数体がエタールリー群コホドの群コホド代数に同型であるのはいつか？
• RQ2 コンパクト台付き滑らか関数のホップ代数体から、エタールリー群コホドをどのように再構成できるか？
• RQ3 ホップ代数体にどのような条件を課すと、そのスペクトル的群コホドが元の群コホドと同型になるか？
• RQ4 スペクトル的構成は、群コホドの層論的構造とどのように関係するか？
• RQ5 C∞_c(M) 上のコアルゲブラで、M 上の層から生じるものはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• M 上の層のカテゴリから C∞_c(M) 上のコアルゲブラのカテゴリへの関手 C∞_c は、完全忠実かつスペクトル層関手 E_sp の左随伴である。
• C∞_c(M) 上のコアルゲブラ C が、M 上のある層 E に対して C∞_c(E) に同型であるための必要十分条件は、すべての x ∈ M に対して C_x が G(C_x) で生成される自由加群であることである。
• ホップ代数体 A がエタールリー群コホド G に対して C∞_c(G) に同型であるための必要十分条件は、S-不変な弱群的元が A を正規的に生成し、正規的に線形独立であることである。
• 自然写像 Θ_A: C∞_c(G_sp(A)) → A は、A が上記の弱群的元に関する条件を満たすときかつそのときに限り同型である。
• A ≅ C∞_c(G) である限り、スペクトル群コホド G_sp(A) は元のエタールリー群コホド G と同型である。
• スペクトル的構成により、C∞_c(E) から元の層 E が E_sp(C∞_c(E)) ≅ E を満たす形で回復される。