[論文レビュー] On Spherically Symmetric Non-Static Space-Times Admitting Homothetic Motions

Ragab M. Gad|arXiv (Cornell University)|May 12, 2010

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、4速度に対して直交または平行なホモセティックキリングベクトル場（HKVF）を課すことにより、アインシュタイン場方程式の新しい自己相似的で球対称な解を導出する。この解は、状態方程式 ρ = p を満たす完全流体の仮定の下で得られ、膨張はゼロ、加速度とせん断は非ゼロであり、特定の潮汐力の振る舞いを示す——縁方向の引き伸ばしはなく、横方向の圧縮がある。HKVFは η = Φr∂r + Φν∂ν の形を取り、明示的な ν と r 依存性を持つ計量を導き、この解は裸の特異点の条件が光線の軌道を用いて解析可能である物理的に妥当な解であることが示されている。

ABSTRACT

Spherically symmetric solutions admitting a homothetic Killing vector field (HKVF) either orthogonal, $\eta_{\bot}$, or parallel,$\eta_{||}$, to the 4-velocity vector field, $u^a$, are studied. New self-similar solution of Einstein's field equation is found in the case when HKVF is in a general form. Some physical properties of the obtained solution are examined.

研究の動機と目的

• 非定常な球対称時空にホモセティックキリングベクトル場（HKVF）を許容する正確な解を導出すること。
• 特に自己相似性と流体力学に注目して、そのような解の物理的性質を検討すること。
• 4速度ベクトル場に対してホモセティックキリングベクトル場が直交または平行である場合の形式を特定すること。
• 横方向の径方向光線軌道を用いて、解における特異点が裸のものである条件を分析すること。
• ホモセティック対称性と潮汐力の文脈において、状態方程式 ρ = p が示す意味を検討すること。

提案手法

• 計量の一般形 ds² = αdν² + 2βdνdr − r²(dθ² + sin²θ dφ²) を用い、α と β は ν と r の関数である。
• リー微分条件 £ηgab = 2Φgab を解くことによりホモセティックキリングベクトル場を導出する。これにより2つの場合に分かれる：η⊥（4速度に対して直交）と η||（4速度に対して平行）。
• 直交の場合、η⊥ = Φr∂r が得られる。平行の場合、η|| = Φν∂ν が得られ、両者を合わせて η = Φr∂r + Φν∂ν の形が得られる。
• HKVFの条件と完全流体の仮定を用いて計量を特殊化し、α = ½(r/ν)² および β = r/ν を得る。
• 4速度と共変微分を用いて運動学的量（加速度、膨張、せん断、回転）を計算する。
• 完全流体の仮定の下でアインシュタイン場方程式を解き、エネルギー密度 ρ と圧力 p の明示的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常な球対称時空において、4速度に対して直交または平行なホモセティックキリングベクトル場の一般形は何か？
• RQ2 径方向光線軌道の振る舞いによって、このような解における特異点がグローバルに裸のものである条件は何か？
• RQ3 一般のHKVFを許容する自己相似解において、膨張、せん断、潮汐力に関してどのような物理的性質が現れるか？
• RQ4 ホモセティック対称性の下で、完全流体解におけるエネルギー密度と圧力はどのように関係し、どのような状態方程式が示唆されるか？
• RQ5 この解において、径方向および横方向の潮汐力（測地線のずれを用いて）の振る舞いは何か？

主な発見

• ホモセティックキリングベクトル場は2つの場合に分かれる：4速度に対して直交する場合 η⊥ = Φr∂r、平行する場合 η|| = Φν∂ν。
• 計量 ds² = ½(r/ν)²dν² + 2(r/ν)dνdr − r²(dθ² + sin²θ dφ²) を持つ新しい自己相似解が得られた。
• 解は膨張スカラーがゼロ（Θ = 0）であり、流体の流れにおける体積変化がないことを示している。
• 流体は非ゼロの加速度（˙ua = −1/(2r)δ₁ᵃ）と非ゼロのせん断（σ₁₁ = −2/√2 r, σ² = 1/r²）を持つ。
• エネルギー密度と圧力は等しい：ρ = p = 1/(2κr²) であり、これは剛体状態方程式を示している。
• 潮汐力は縁方向に引き伸ばしを生じさせない（R₁₀₁₀ = 0）、しかし横方向に圧縮を引き起こす（R₂₀₂₀ = R₃₀₃₀ = 1/(4ν²)）。