[論文レビュー] On splitting infinite-fold covers

Márton Elekes, Tamás Mátrai+1 more|ArXiv.org|Nov 14, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、位相空間および順序付き空間における閉集合、凸集合、多面体による無限重被覆の互いに素な部分被覆への分解を調査する。集合論的技法、特にコーエンモデルやマーティンの公理などの強力モデルを用いて、このような被覆の分割可能性がZFCとは独立であることを示し、線形順序集合および$[\mathbb{R}^n$におけるさまざまな幾何的制約下での主要な結果を得ている。

ABSTRACT

Let $X$ be a set, $\ka$ be a cardinal number and let $\iH$ be a family of subsets of $X$ which covers each $x\in X$ at least $\ka$ times. What assumptions can ensure that $\iH$ can be decomposed into $κ$ many disjoint subcovers? We examine this problem under various assumptions on the set $X$ and on the cover $\iH$: among other situations, we consider covers of topological spaces by closed sets, interval covers of linearly ordered sets and covers of $ eal^{n}$ by polyhedra and by arbitrary convex sets. We focus on these problems mainly for infinite $κ$. Besides numerous positive and negative results, many questions turn out to be independent of the usual axioms of set theory.

研究の動機と目的

• 集合の無限重被覆が$\kappa$個の互いに素な部分被覆に分解可能な条件を特定すること。
• 位相空間および順序付き空間における閉集合、凸集合、多面体による被覆の分割問題を分析すること。
• 特に$[\mathbb{R}^n$および線形順序集合において、分割結果の集合論的独立性を調査すること。
• 長方形、円板、凸集合などの幾何的対象による無限重被覆に関する未解決問題を解消すること。
• コーエン拡大やマーティンの公理のようなモデルを用いて、分割結果の整合性の強度を明確にすること。

提案手法

• コーエンモデルやマーティンの公理を満たすモデルを含む集合論的強制法技術を用いて、分割性を持つか持たないかの被覆を構成する。
• 推移的モデルにおける単純性および反映原理を応用し、被覆に対する$\kappa$-良い彩色の存在を証明する。
• 線形順序集合の凸集合による被覆を分析し、順序論的性質を用いて最大分解可能性を証明する。
• あるモデル（例：GCHを満たすコーエン拡大）ではすべての非可算重閉被覆が分解可能であるのに対し、他のモデル（例：マーティンの公理下）では分解不能な被覆が存在することを示すことにより、独立性結果を確立する。
• 区間被覆およびグラフの辺被覆に関する結果を応用し、無限重被覆の一般原理を導出する。
• 特に$\kappa$-良い彩色を用いた組合せ的彩色技法を用いて、被覆が何個の互いに素な部分被覆に分割可能かを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉集合による集合の無限重被覆が2つの互いに素な部分被覆に分解可能となる条件は何か？
• RQ2 $\mathbb{R}^n$における凸集合による$\kappa$-重被覆の分割問題はZFCとは独立か？
• RQ3 任意のコンパクト凸集合の平行移動による$\mathbb{R}^2$の$\omega$-重被覆は、常に2つの互いに素な部分被覆に分割可能か？
• RQ4 ZFCと整合的であるか、$\mathbb{R}$の$\omega_1$-重閉被覆で$|\mathbf{H}| = \omega_1$であるものが2つの部分被覆に分割できないことは可能か？
• RQ5 線形順序集合における凸集合による被覆の最大分解可能性は一般に成り立つか？また、従来の結果よりも単純に証明可能か？

主な発見

• 線形順序集合における凸集合による被覆に関して、任意の無限$\kappa$に対して$\kappa$個の互いに素な部分被覆への最大分解可能性が成り立ち、従来の結果よりも単純な証明が得られた。
• 閉集合による$\mathbb{R}$の被覆の分割問題はZFCとは独立である：マーティンの公理下では分解不能な$\omega_1$-重被覆が存在するが、GCHを満たすコーエン拡大ではすべての非可算重閉被覆が分解可能である。
• $\mathbb{R}^n$における凸集合による被覆の分割問題もZFCとは独立であり、閉集合の場合の独立性結果から直ちに導かれる。
• GCHを満たすコーエンモデルでは、$\mathbb{R}$のすべての非可算重被覆が$\kappa$個の互いに素な部分被覆に最大分解可能である。
• $\mathbb{R}^n$における凸集合による被覆に関して、ZFCは$\kappa$-重被覆が常に分割可能かどうかを決定しないが、特定の状況に対して2つのZFC結果を確立した。
• 本稿では、グラフの$\kappa$-重被覆に関して、有限および無限グラフの両方で完全な解が得られ、有限組合せ論的結果が一般化された。