[論文レビュー] On spreading sequences and asymptotic structures

Daniel Freeman, Edward Odell+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スプライシング基底を備えたバナッハ空間および $c_0$ に類似した漸近的構造を有する空間を研究する。著者は、スプライシング基底を備えた任意のバナッハ空間が、無条件基底を備えた補完可能な部分空間を含むことを証明する——これはH. ローゼンタールの未解決問題に答えている——同時に、新しい無条件性および平均化射影技術を用いて、このような空間が $c_0$ を埋め込むか、あるいは漸近的-$c_0$ であるための条件も確立する。

ABSTRACT

In the first part of the paper we study the structure of Banach spaces with a conditional spreading basis. The geometry of such spaces exhibit a striking resemblance to the geometry of James' space. Further, we show that the averaging projections onto subspaces spanned by constant coefficient blocks with no gaps between supports are bounded. As a consequence, every Banach space with a spreading basis contains a complemented subspace with an unconditional basis. This gives an affirmative answer to a question of H. Rosenthal. The second part contains two results on Banach spaces $X$ whose asymptotic structures are closely related to $c_0$ and do not contain a copy of $\ell_1$: i) Suppose $X$ has a normalized weakly null basis $(x_i)$ and every spreading model $(e_i)$ of a normalized weakly null block basis satisfies $\|e_1-e_2\|=1$. Then some subsequence of $(x_i)$ is equivalent to the unit vector basis of $c_0$. This generalizes a similar theorem of Odell and Schlumprecht, and yields a new proof of the Elton-Odell theorem on the existence of infinite $(1+\varepsilon)$-separated sequences in the unit sphere of an arbitrary infinite dimensional Banach space. ii) Suppose that all asymptotic models of $X$ generated by weakly null arrays are equivalent to the unit vector basis of $c_0$. Then $X^*$ is separable and $X$ is asymptotic-$c_0$ with respect to a shrinking basis $(y_i)$ of $Y\supseteq X$.

研究の動機と目的

• 条件付きスプライシング基底を備えたバナッハ空間の幾何的構造、特にジェイムズ空間への類似性を理解すること。
• H. ローゼンタールが提起した、スプライシング基底を備えた空間に補完可能な無条件部分空間が存在するかという未解決問題を解決すること。
• 弱いゼロの正規化された基底を備えたバナッハ空間が $c_0$ を含む、あるいは漸近的-$c_0$ であるための条件を特定すること、特に漸近的モデルが $c_0$ 基底と同値である場合に注目する。
• 条件付きスプライシングの場合における定数係数ブロック部分空間への平均化射影の有界性を確立すること。
• 任意の無限次元バナッハ空間の単位球面上に無限個の $(1+\varepsilon)$-分離された点列が存在することを示すエロン・オデルの定理の新しい証明を提供すること。

提案手法

• 正規化された条件付きスプライシング基底 $(e_i)$ から、$(d_i) = (e_1, e_2 - e_1, e_3 - e_2, \dots)$ という差分基底を導入し、それが飛躍的無条件基底を形成することを示す。
• 定理2.3aを用いて、差分基底におけるブロック列の無条件性を証明する。これは分析の中心的役割を果たす。
• ギャップのない定数係数ブロックで張られる部分空間への有界平均化射影を適用し、その一様有界性を証明する。
• 木のノードにおける汎関数の安定化を可能にする組合せ的ギャップ補題を用い、制御された摂動を伴う漸近的モデルの構成を可能にする。
• 安定化された汎関数と摂動制御を用いたベクトルの洗練されたアレイを構築し、漸近的モデルが $c_0$ と同値であることを保証する。
• すべての正規化された漸近的モデルが $c_0$ 基底と同値であることと、$\varepsilon$-分離された点列が存在しないことから、$X^*$ が可分であり、$X$ がより大きな空間 $Y \supseteq X$ の縮小基底に関して漸近的-$c_0$ であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のスプライシング基底を備えたバナッハ空間は、無条件基底を備えた補完可能な部分空間を含むか？
• RQ2 弱いゼロの正規化された基底を備えたバナッハ空間が、$c_0$ と同値な部分空間を含む条件は何か？
• RQ3 弱いゼロの配列のすべての漸近的モデルが $c_0$ 基底と同値である場合、空間は縮小基底に関して漸近的-$c_0$ となるか？
• RQ4 $(1+\varepsilon)$-分離された点列に関するエロン・オデルの定理は、漸近的モデルの性質から再導出可能か？
• RQ5 差分基底 $(d_i)$ は、条件付きスプライシング基底を備えた空間の幾何的性質を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のスプライシング基底を備えたバナッハ空間は、無条件基底を備えた補完可能な部分空間を含む。これはH. ローゼンタールの問いに肯定的に答えている。
• ギャップのない定数係数ブロックで張られる部分空間への平均化射影は一様有界である。これは重要な技術的結果である。
• 正規化された弱いゼロのブロック基底が、$\|e_1 - e_2\| = 1$ かつ $\ell_1 \not\hookrightarrow X$ を満たす場合、$c_0 \hookrightarrow X$ である。
• 弱いゼロの配列のすべての正規化された漸近的モデルが $c_0$ 基底と同値であり、$\ell_1 \not\hookrightarrow X$ である場合、$X^*$ は可分であり、$X$ はより大きな空間 $Y \supseteq X$ の縮小基底に関して漸近的-$c_0$ である。
• エロン・オデルの定理の証明が簡略化された：$X$ が $\ell_1$ も $c_0$ も含まない場合、弱いゼロの点列は、$\|e_1 - e_2\| > 1$ を満たす漸近的モデルを備えたブロック基底を持つことになり、無限個の $(1+\varepsilon)$-分離された点列が得られる。
• 条件付きスプライシング基底の差分基底 $(d_i)$ は飛躍的無条件的であり、$c_0 \not\hookrightarrow X$ であることと、$(e_i)$ が有界完備であることとは同値である。