[論文レビュー] On "stability" in the Erd\H{o}s-Ko-Rado theorem

Pat Devlin, Jeff Kahn|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランダムKneserグラフ $K_p(2k+1,k)$ に対して、$k \to \infty$ のときほとんど確実に最大独立集合は星集合（star）のみであることを示し、Erd'os-Ko-Rado定理における安定性結果を、ランダムな辺削除の下で確立する。さらに、この性質の閾値確率が一般の $n$ と $k$ に対して $O(p_0(n,k))$ であることを示し、ランダムKneserグラフにおけるEKR性質の閾値挙動に関する疑問に答えている。

ABSTRACT

Denote by $K_p(n,k)$ the random subgraph of the usual Kneser graph $K(n,k)$ in which edges appear independently, each with probability $p$. Answering a question of Bollob\\'as, Narayanan, and Raigorodskii,we show that there is a fixed $p<1$ such that a.s. (i.e., with probability tending to 1 as $k \ o \\infty$) the maximum independent sets of $K_p(2k+1, k)$ are precisely the sets $\\{A\\in V(K(2k+1,k)): x\\in A\\}$ ($x\\in [2k+1]$). We also complete the determination of the order of magnitude of the "threshold" for the above property for general $k$ and $n\\geq 2k+2$. This is new for $k\\sim n/2$, while for smaller $k $ it is a recent result of Das and Tran.

研究の動機と目的

• Bollob\'as, Narayanan, Raigorodskii が提起した疑問に応えること：固定された $p < 1$ に対して、$K_p(2k+1,k)$ がすべての $k$ に対してほとんど確実にEKR（つまり、すべての最大独立集合が星集合であること）であるか。
• ランダムKneserグラフ $K_p(n,k)$ におけるEKR性質の閾値 $p_c(n,k)$ のオーダーを特定すること、特に $k \sim n/2$ の場合。
• 特に $n \in \{2k+1, 2k+2\}$ で $k$ が大きいという困難な領域において、$K_p(n,k)$ におけるEKR性質の閾値挙動を完全に特徴付けること。
• すべての $n$ と $k$ に対して、閾値 $p_c(n,k)$ が $O(p_0(n,k))$ であることを示すこと。ここで $p_0$ は極値族に基づく既知の候補閾値である。

提案手法

• Kneserグラフ $K(n,k)$ の辺を各々独立に確率 $p$ で残すランダム部分グラフ $K_p(n,k)$ を分析し、最大独立集合の構造に注目する。
• ペア $({\cal A}, B)$ の数（$A \in {\cal A}$, $B \in \Gamma_{k+c}$, $A \subseteq B$）に対する二重数え上げと組合せ的評価を用い、族 ${\cal A}$ のシャドウにおける辺数を推定する。
• ジョンソングラフ構造を用いて $\beta_c({\cal A})$ 関数（${\cal A}$ の要素の $c$-シフトの数を数える）の境界を適用し、ランダムグラフにおける辺数の下界を導出する。
• $\Lambda({\cal A}, \bar{{\cal B}})$ と $\Lambda(\bar{{\cal A}}, {\cal B})$ の間の重要な不等式を用い、辺数と ${\cal A}$ のサイズおよび密度 $\mu_k({\cal A})$ を関連づけ、$e({\cal F})$ の下界を導出する。
• これらの境界を、$\log(1/\mu_k({\cal A}))$ の推定と組み合わせ、ランダムグラフにおける辺数が非星独立集合を防ぐために必要な閾値を超えることを示す。
• $\mu_k({\cal A})$ の大きさに基づくケース解析を用い、導出された $e({\cal F})$ の下界が必要な閾値を上回ることを確認し、これにより星集合のみが最大独立集合であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $p < 1$ が存在して、すべての $k$ に対して $K_p(2k+1,k)$ がほとんど確実にEKRとなるか？
• RQ2 一般の $n$ と $k$ に対して、$n \geq 2k+2$ かつ $k \sim n/2$ のとき、$K_p(n,k)$ におけるEKR性質の閾値 $p_c(n,k)$ のオーダーは何か？
• RQ3 $n = 2k+1$ の場合を含め、すべての $n$ と $k$ に対して、閾値 $p_c(n,k)$ が $O(p_0(n,k))$ のままであるか？
• RQ4 星集合からちょうど1つの集合が異なるような族に対して、閾値挙動を確立できるか？特に、星集合に非常に近い族に対して。

主な発見

• 固定された $p < 1$ が存在し、$k \to \infty$ のとき $K_p(2k+1,k)$ はほとんど確実にEKRであることが示され、最大独立集合は正確に星集合であることが確認された。
• 一般の $n$ と $k$ に対して、EKR性質の閾値 $p_c(n,k)$ は $p_c(n,k) = O(p_0(n,k))$ を満たす。ここで $p_0(n,k)$ は極値族に基づく候補閾値である。
• $n \geq 2k+2$ の場合、$p_0(n,k)$ は漸近的に $\binom{n-k-1}{k-1}^{-1} \log(n\binom{n-1}{k})$ に等しく、$n = 2k+1$ の場合 $3/4$ である。本稿では、すべてのケースで $p_c = O(p_0)$ であることを示した。
• $n = 2k+1$ の場合、$k \to \infty$ のとき $p_c \to 3/4$ であることを証明し、閾値が $3/4$ に収束するという予想を支持する。
• 証明により、ある絶対定数 $C$ に対して $p > Cp_0(n,k)$ のとき、ランダムグラフ $K_p(n,k)$ は $k \sim n/2$ の場合でさえほとんど確実にEKRであることが示された。これは、従来の手法では失敗した領域でも成立する。
• 解析により、EKR性質の主な障害は、星集合からちょうど1つの集合が異なる族に起因しており、$p$ が閾値を上回る場合には、このような族が独立集合である確率が低いことが確認された。