[論文レビュー] On stability of a new model of wormhole

I. Novikov, A. A. Shatskiy|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、径方向磁場とエネルギー密度の摂動に比例する圧力を持つ理想的で反物質的（phantom）な流体から成る、安定な traversable wormhole モデルを提案する。球対称な摂動の下で線形化されたアインシュタイン方程式を用い、音速 $ h_0 \leq 1 $ の場合に実数の振動数と非増大の摂動を示し、球対称モードにおける安定性を証明する。圧力がゼロであっても、音速の制約を満たしていればモデルは安定である。

ABSTRACT

We investigate the stability of the wormhole of the Mors-Thorne-Ellis-Bronnikov type. In our model the matter inside it consists of a radial magnetic field and an ideal phantom-fluid. Properties of the matter are described in section 1, 2 and 3 of this paper. We consider spherical perturbations only and find examples of the stable wormholes against these perturbations.

研究の動機と目的

• 球対称な摂動の下で、Mors-Thorne-Ellis-Bronnikov 型のワームホールの安定性を調査すること。
• エネルギー密度のずれに比例する圧力を持つ径方向磁場と反物質的流体の組み合わせが、安定な構成をもたらすかどうかを分析すること。
• 摂動が時間とともに有界かつ指数的増大を示さない条件を特定すること。
• 従来の不安定な反物質的流体ワームホールの結果を拡張し、指数的増大を抑制する圧力機構の導入を試みること。
• 遠心力の障壁により非球対称な摂動がより安定である可能性があることから、完全な安定性への道筋を示すこと。

提案手法

• 球対称な計量 $ ds^2 = e^{\nu}dt^2 - e^{\lambda}dx^2 - e^{\alpha}(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) $ を定式化し、$ e^{\alpha} = r^2 $ とする。
• 径方向磁場（トポロジカルな電荷 $ q $）と負のエネルギー密度を持つ反物質的ダストで構成される系のアインシュタイン方程式を導出する。
• 小さな球対称な摂動を $ 8\pi\varepsilon = \frac{-2q^2}{(q^2+x^2)^2} + f(x,t) $ を用いて導入し、圧力 $ p \propto f $ とし、音速 $ v_s^2 = h(x) $ を定義する。
• 静的解の周囲での場の運動方程式の線形化を行い、次元なし座標におけるシュレーディンガー型方程式 $ \Psi_{zz} + w_n^2 \Psi - U(z)\Psi = 0 $ に還元する。
• 有効ポテンシャル $ U(z) $ を分析し、$ 0 < h_0 \leq 2.8 $ の範囲で非負であることを示し、$ v_s^2 \leq c^2 $ を満たすために $ h_0 \leq 1 $ に制限する。
• 実数の $ w_n^2 \geq 0 $ が振動的で非増大の解を意味することを示し、$ h_0 \leq 1 $ の場合に $ \eta(x,t) $、$ \nu(x,t) $、$ \lambda(x,t) $、$ f(x,t) $ が時間とともに非増大であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径方向磁場と反物質的流体を有するワームホールモデルは、球対称な摂動の下で安定であるか？
• RQ2 エネルギー密度のずれに比例する圧力は、ワームホールの安定化にどのような役割を果たすか？
• RQ3 音速 $ h_0 $ がどのような条件下で、摂動スペクトルが有界かつ指数的増大を示さないか？
• RQ4 シュレーディンガー型方程式における有効ポテンシャル $ U(z) $ は、系の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 圧力ゼロの状況（$ h=0 $）は安定か？また、摂動の時間発展に関して、その制限は何か？

主な発見

• $ 0 < h_0 \leq 1 $ の場合、有効ポテンシャル $ U(z) $ は非負であり、無限大で消えるため、すべての固有振動数 $ w_n^2 \geq 0 $ が保証され、これは振動的で非増大の摂動を意味する。
• 時間依存級数 $ \sum T_n(t)\Psi_n(z) $ の構造により、解 $ \eta(x,t) $ は時間とともに非増大であることが保証され、有界性が得られる。
• $ h_0 \leq 1 $ の場合、$ \eta^\prime(x,t) $ も非増大のままであるため、$ \nu(x,t) $、$ \lambda(x,t) $、$ f(x,t) $ が球対称な摂動において安定であることが示される。
• $ h=0 $ の場合、線形に不安定な解 $ \eta_{h=0}(x,t) = \eta_0 \exp(it/\xi^2) $ が得られ、$ x \neq 0 $ では $ \eta^{\prime}_{h=0} $ が時間とともに線形に増大するため、不安定性が示される。
• 音速 $ h_0 \leq 1 $ の条件下では、球対称な摂動においてモデルは安定であり、物理的制約 $ v_s^2 \leq c^2 $ を満たしており、$ x > 0 $ および $ x < 0 $ の両領域で安定性が保たれる。
• 非球対称な摂動は、有効ポテンシャルにおける高次の多重極障壁のため、より安定であると予想され、球対称モードを超えた完全な安定性の実現が可能であると考えられる。