[論文レビュー] On Stability of Hawkes Process

Dmytro Karabash|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、先行研究よりもはるかに弱い条件下で、ハーケス過程の不変分布の存在、一意性、安定性を確立している。強度関数 λ がリプシッツ連続または連続である必要がないという制約を緩和している。均衡への収束を証明し、インパルス関数 g_t の新しいマコフ過程形式を用いて、収束速度の新たな境界を提示している。これにより、多型および非リプシッツ λ への一般化が可能となる。

ABSTRACT

Existence and stability properties are studied for Hawkes process, i.e. point process $S$ that has long-memory and intensity $r(t)=λ\big(g_0(t)+ \sum_{τ

研究の動機と目的

• 従来の知られていたものよりも弱い条件下で、ハーケス過程の不変分布の存在と一意性を確立すること。
• 過程が均衡へほとんど確実に収束することを証明し、収束速度を定量すること。
• 不連続または非リプシッツ強度関数 λ を許容するように、古典的なハーケス過程の枠組みを一般化すること。
• 多型ハーケス過程および定常バックグラウンド信号を有する系へ理論を拡張すること。
• インパルス関数に基づくマコフ過程としてハーケス過程を再定式化し、新たな解析的手法を可能とすること。

提案手法

• インパルス関数 g_t(s) = g_0(t+s) + ∑_{τ∈S_t} h(t+s−τ) を状態変数とするマコフ過程としてハーケス過程を定式化し、イベント時刻におけるジャンプと時間シフトに伴う変化を記述する。
• g_t の時間発展をジャンプ付き確率的偏微分方程式として記述し、状態過程とみなす。
• カップリングおよびカップリング不等式技術を用いて、時刻 t における分布間の全 Variation 距離の上界を求める。
• 双対過程を導入し、ラプラス変換を用いてシステムの長期的挙動を分析する。
• 行列値カーネル h_ij および λ_i を導入することで多型ハーケス過程への一般化を図り、行列 m_{i,e} のスペクトル条件を用いてエルゴード性を証明する。
• 強度関数に有界な定常バックグラウンド信号 p(t) や q(t) を含めることを許容し、有界性仮定のもとで収束結果が依然成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ および h がどのような条件下でハーケス過程が一意な不変分布を有するか。
• RQ2 均衡への収束は定量可能か？また、λ に対して弱い正則性仮定のもとで収束速度はいかほどか。
• RQ3 一般相互作用カーネルを有する多型ハーケス過程へ理論をどのように拡張できるか。
• RQ4 強度関数 λ が不連続または非リプシッツである場合、安定性および収束性にはどのような影響があるか。
• RQ5 収束性を失うことなく、定常バックグラウンド信号をフレームワークに組み込めるか。

主な発見

• Brémaud-Massoulié (2002) よりも弱い条件下でも、不変分布が存在し、一意である。λ が不連続であっても成立する。
• 初期インパルス関数および h の尾部で正規化された分布間の全 Variation 距離の limsup に対して、有限上界が確立され、均衡への収束が証明された。
• 収束速度は ∫_{t/2}^∞ (g(s) + h(s)) ds を含む境界で定量され、limsup は 1/(1−B̃) + ||g̃||₁C₄ < ∞ で有界である。
• 多型ハーケス過程では、行列 m_{i,e} = ∑_j k^e_{ij} のスペクトル半径が 1 より小さい場合、不変測度の存在および一意性が保証される。
• 有界な定常信号 p(t) や q(t) を含む系に対しても理論は拡張可能であり、収束性およびエルゴード性が保たれる。
• インパルス関数 g_t はマコフ過程を形成し、λ のリプシッツ連続性の必要性を回避する新たな解析的枠組みを可能にする。