[論文レビュー] On state-space representations of general discrete-time dynamical systems

Cristian R. Rojas, Paweł Wachel|arXiv (Cornell University)|May 6, 2022

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、すべての決定的で、非自己同性の、離散時間の、因果的で、時不変の力学系が、Nerode同値を用いて状態空間表現を有することを確立している。この構成は、位相的仮定の下で、状態空間の基数または次元の意味で最小である。非線形および非線形系に対する実現問題の一般解を提供する。

ABSTRACT

In this paper we establish that every (deterministic) non-autonomous, discrete-time, causal, time invariant system has a state-space representation, and discuss its minimality.

研究の動機と目的

• すべての因果的で、時不変の、離散時間の力学系が状態空間表現を有するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 線形性、連続性、微分可能性を仮定せずに、そのような表現の一般的構成を提供すること。
• Nerode同値および位相的可観測性の概念を用いて、得られた状態空間モデルの最小性を確立すること。
• 一般非線形系における入出力システム理論と状態空間モデリングのギャップを埋めること。

提案手法

• 入力系列の同値類として状態を定義し、それらが同一の出力軌道を生成することを前提とするNerode同値を用いる。
• 状態空間が商集合 U^Z / ∼₀ である状態空間モデル (f, g) を構成し、∼₀ は入出力同値性によって定義される。
• 入出力挙動を商空間への持ち上げることで、状態遷移関数 f と出力関数 g を定義する。
• 標準的射影写像 P̄ を介して、得られた (f, g) が元のシステム T を実現することを証明する。
• 位相的および微分構造の仮定を適用し、最小実現が局所的可観測点から誘導される多様体構造を継承することを示す。
• Nerode表現が局所的可観測性の下で、状態空間のサイズおよび次元の意味で最小であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての因果的で、時不変の、離散時間の力学系は、状態空間形式で表現可能か？
• RQ2 そのようなシステムの最小状態空間表現とは何か？ そして、どのように構成可能か？
• RQ3 Nerode同値に基づく構成は、状態空間の基数または次元の意味で最小実現をもたらすか？
• RQ4 Nerode表現の最小性は、滑らかさまたは位相的システムにおける局所的可観測性とどのように関係するか？

主な発見

• すべての因果的で、時不変の、離散時間のシステムは、Nerode同値による構成によって状態空間表現を有する。
• 構成された状態空間 U^Z / ∼₀ は、より小さい状態空間ではシステムを実現できないという意味で最小である。
• 入力および出力集合が有限の場合、Nerode状態空間はすべての実現の中での最小の状態数を持つ。
• 位相的仮定の下で、Nerode表現は局所的可観測点において微分構造を継承し、元の状態空間の次元と一致する。
• 線形性や連続性を仮定せずとも、Nerode表現の最小性は非線形系に対しても成立する。
• この構成は、微分可能性や連続性などの追加構造的仮定を必要とせず、頑健である。