[論文レビュー] On Stochastic Comparisons of Order Statistics from Heterogeneous Exponential Samples

Yaming Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、星順序、ハザードレート順序、分散順序の下で、非定常指数分布に従う順序統計量のk番目の統計量が、定常指数分布に従う場合を支配することを証明することで、確率的順序理論における2つの長年の未解決問題を解決する。主な結果は $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $ を示しており、XuとBalakrishnan（2012）およびPältănea（2008）の予想を裏付けるものであり、星順序の畳み込みおよび混合閉包性質を用いて一般化された間隔（spacings）へと拡張される。

ABSTRACT

We show that the $k$th order statistic from a heterogeneous sample of $n\geq k$ exponential random variables is larger than that from a homogeneous exponential sample in the sense of star ordering, as conjectured by Xu and Balakrishnan (2012). As a consequence, we establish hazard rate ordering for order statistics between heterogeneous and homogeneous exponential samples, resolving an open problem of Pǎltǎnea (2008). Extensions to general spacings are also presented.

研究の動機と目的

• XuとBalakrishnan（2012）の予想を解決する。すなわち、星順序の下で、非定常指数分布に従う標本のk番目の順序統計量が、定常ケースを支配することを示すこと。
• Pältănea（2008）の予想を確認する。すなわち、同じ条件下で $ Y_{k:n} \leq_{\rm hr} X_{k:n} $ が成り立つこと。
• 分布表現および混合閉包性質を用いて、順序統計量から一般化された間隔（例：$ X_{k:n} - X_{m:n} $）への確率的比較を拡張すること。
• 基本対称関数およびレートパラメータを用いた、確率的支配の必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 星順序を用い、順序統計量を指数分布との畳み込みによる表現を用いて $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $ を証明する。
• 補題1（星順序の混合に関する閉包性）を適用し、部分標本からの分布関数の重み付き和を取り扱う。
• TP2カーネルの変動減少性を用いて、分布関数の交差点が一意に定まることを確立し、厳密な星順序が保証されることを示す。
• 間隔 $ X_{k:n} - X_{m:n} $ の分布表現を、縮小された標本からの順序統計量の混合として導出する。
• パrameter $ \gamma $, $ \lambda_i $, および基本対称関数 $ s_{k-m}^{[\mathbf{r}]} $ に関する条件を用いて、間隔の確率的支配を特徴付ける。
• Maclaurinの不等式および対数凸性の議論を用いて、定常および非定常標本の畳み込み構造を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常指数分布に従う標本のk番目の順序統計量は、星順序の下で、定常ケースのそれよりも確率的に支配されるか？
• RQ2 条件 $ \gamma \geq \left( \binom{n}{k}^{-1} s_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \right)^{1/k} $ は、$ Y_{k:n} $ と $ X_{k:n} $ 間のハザードレート順序と同値か？
• RQ3 順序統計量に関する確率的比較結果は、一般化された間隔 $ X_{k:n} - X_{m:n} $ へと拡張可能か？
• RQ4 確率的順序、ハザードレート順序、または分散順序の下で、$ Y_{k:n} - Y_{m:n} \leq_{\rm order} X_{k:n} - X_{m:n} $ が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ5 星順序を用いて尤度比順序の結果を導出可能か、それとも別の手法が必要か？

主な発見

• 本論文は $ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $ を証明し、XuとBalakrishnan（2012）の予想をすべての $ 1 \leq k \leq n $ に対して裏付ける。
• また、$ Y_{k:n} \leq_{\rm hr} X_{k:n} $ が、$ \gamma \geq \left( \binom{n}{k}^{-1} s_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \right)^{1/k} $ であることと同値であることを確立し、Pältănea（2008）の未解決問題を解決する。
• 星順序はハザードレート順序および分散順序を含むため、$ Y_{k:n} \leq_* X_{k:n} $ が成立すれば、$ Y_{k:n} \leq_{\rm hr} X_{k:n} $ および $ Y_{k:n} \leq_{\rm disp} X_{k:n} $ も直ちに導かれる。
• 一般化された間隔について、$ 1 \leq m < k \leq n $ の下で $ Y_{k:n} - Y_{m:n} \leq_* X_{k:n} - X_{m:n} $ が成り立つことが示され、主結果が拡張される。
• 確率的順序での $ Y_{k:n} - Y_{m:n} \leq_{\rm st} X_{k:n} - X_{m:n} $ の条件は、$ \lambda_i $ の順列および対称関数を含む複雑な不等式で与えられる。
• 特別な場合 $ m=1, k=n $ では、条件は $ \gamma \geq \left( \frac{\prod_{i=1}^n \lambda_i}{\Lambda/n} \right)^{1/(n-1)} $ に簡略化され、XuとBalakrishnan（2012）の定理4.1が回復される。