[論文レビュー] On stochastic continuity of generalized diffusion processes constructed as the strong solution to an SDE

Ludmila L. Zaitseva|ArXiv.org|Sep 11, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特異係数を伴うSDEの強い解として構成される一般化された拡散過程の確率的連続性を確立する。特に、歪み付きブラウン運動（skew Brownian motion）を対象とする。歪み付きブラウン運動の近似を用いた比較定理の証明により、異なる初期点から出発するこのような過程間のL¹距離の推定を得る。これは、Lᵖ連続性（p > 2）が欠如するにもかかわらず、初期条件に対する連続的依存性を示している。

ABSTRACT

The comparison theorem for skew Brownian motions is proved. As the corollary we get the estimate on ${\Cal L}_1-$distance between two skew Brownian motions started from different points. Using this result we prove the continuous dependence on starting point of one class of generalized diffusion processes constructed as the strong solution to an SDE.

研究の動機と目的

• 特異係数を伴うSDEの強い解として定義される一般化された拡散過程について、初期条件に対する連続的依存性を確立すること。
• 歪み付きブラウン運動の初期点で不連続が生じるため、標準的なLᵖ推定（p > 2）が失敗するという課題に対処すること。
• 歪み付きブラウン運動のパスワイズ挙動とその収束を分析するための、新たな近似に基づく技法を開発すること。
• 歪みパラメータと初期値に条件を課した場合の歪み付きブラウン運動に対する比較定理を証明すること。
• 歪み付きブラウン運動間のL¹距離推定を活用することで、一般のSDE（特異係数を伴う）に対し結果を拡張すること。

提案手法

• 漂動係数が特異極限に収束するような、漂動係数を伴う拡散過程の系列による歪み付きブラウン運動の近似を用いる。
• 漂動項を除去する変換を適用し、拡散過程を時間変換付きブラウン運動とスケール関数に分解する。
• 有限次元分布の弱収束を用いて、(xⁿ₁, xⁿ₂) の対が、歪み付きブラウン運動の対 (x₁, x₂) に収束することを示す。
• 近似系列に対して拡散過程の比較定理を適用し、漂動項と初期条件の単調性を活用する。
• 局所時刻と時間変換過程の収束を用いて、極限における歪み付きブラウン運動間のL¹距離を制御する。
• ブラウン運動のホルダー連続性に基づく緊密性とパスワイズ連続性の議論を用いて、分布収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪みパラメータと初期値に条件を課した場合、異なる初期点から出発する2つの歪み付きブラウン運動間のL¹距離を推定できるか？
• RQ2 歪みパラメータと初期位置が特定の順序制約を満たす場合、歪み付きブラウン運動に対する比較定理は成立するか？
• RQ3 δ関数を含むような特異係数を伴うSDEの強い解は、Lᵖ連続性（p > 2）が欠如するにもかかわらず、初期条件に対して連続的依存するか？
• RQ4 適切な条件下で、近似拡散過程の収束が、歪み付きブラウン運動のパスワイズ順序を保つことができるか？
• RQ5 特異係数を伴うSDEの解は、時間と初期位置の関数として可測な修正をもつのか？

主な発見

• 歪み付きブラウン運動に対する比較定理が確立された：q₁ ≤ q₂ かつ x₀¹ ≤ x₀² ならば、任意の t ≥ 0 に対して x₁(t) ≤ x₂(t) がほとんど確実に成り立つ。
• 比較定理の系として、2つの歪み付きブラウン運動間のL¹距離推定が得られ、パスワイズ乖離の定量的バインドが与えられる。
• 漂動係数が aₙ(x) = n a(nx) で与えられる拡散過程による歪み付きブラウン運動の近似は、歪みパラメータ q = tanh(A)（A = ∫ℝ a(x)dx）を持つ歪み付きブラウン運動に弱収束する。
• 局所時刻と時間変換過程の収束が証明され、近似下でのパスワイズ構造の安定性が保証される。
• 特異係数を伴うSDEの解は、ℝ⁺ × ℝᵈ 上の可測関数としての修正をもつことが確認され、解族の正則性が裏付けられる。
• パスワイズ比較に基づくL¹推定を用いることで、Lᵖ推定（p > 2）の失敗を克服し、初期条件に対する連続的依存性を可能にする。