[論文レビュー] On stochastic equations with drift in $L_{d}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$L_d(\mathbb{R}^d)$ に値をとるドリフトをもつ伊藤型確率微分方程式に対して、弱解および関連するマルコフ過程の存在を、スコロフホド埋め込みとコンパクト性の議論を用いて確立する。グリーン関数に関する重要な推定を証明し、$d/(d-1)$ までの中間可 summability および $A_\infty$-ミュケンホプトクラスへの属性を示し、退化する拡散に対する確率解析および偏微分方程式理論の基礎的結果を拡張する。

ABSTRACT

For Itô stochastic equations in $\mathbb{R}^{d}$ with drift in $L_{d}$ several results are discussed such as the existence of weak solutions, the existence of the corresponding Markov process, Aleksandrov type estimates of their Green's functions, which yield their summability to the power of $d/(d-1)$, the Fabes-Stroock type estimates which show that Green's functions are summable to a higher degree, the Fanghua Lin type estimates, which are one of the main tools in the $W^{2}_{p}$-theory of fully nonlinear elliptic equations, the fact that Green's functions are in the class $A_{\infty}$ of Muckenhoupt and a few other results.

研究の動機と目的

• ドリフト係数が $L_d(\mathbb{R}^d)$ に属する場合の伊藤型確率微分方程式に対する弱解の存在を確立すること。これは、古典的手法が失敗する重要な境界ケースである。
• 解に関連する強いマルコフ過程の存在を証明すること。
• 関連する楕円型作用素のグリーン関数に関する定量的推定を導出すること。これには、より高い可 summability 性および $A_\infty$-ミュケンホプトクラスへの属性が含まれる。
• 完全非線形楕円型方程式の $W^{2}_p$-理論の技術を、$L_d$ ドリフトをもつ確率的設定に拡張すること。
• 特異なドリフトの文脈における弱一意性およびパスごとの挙動のための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• ドリフトおよび拡散係数を $L_d$ で近似することで、スコロフホド埋め込み法を用いて弱解を構成する。
• 近似過程の分布に関するコンパクト性およびタイトネスの議論を用いて、弱極限を抽出する。
• 確率的カップリングおよび時空スケーリングを用いて、停留時間推定を介して遷移密度の下界を導出する。
• アレクサンドロフ型およびファービス・ストルック型不等式を用いて、グリーン関数に関する事前推定を導出する。
• ファングハ・リン型推定を用いて、グリーン関数の振動および可 summability を制御する。
• ミュケンホプト $A_\infty$-クラス理論を適用し、グリーン関数が二重性および逆ホルダー不等式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが $L_d(\mathbb{R}^d)$ にのみ属する場合、古典的 $L_p$-理論が失敗するにもかかわらず、伊藤型 SDE に対して弱解が存在しうるか？
• RQ2 このような SDE の生成作用素に関連するグリーン関数の可 summability 性質は何か？
• RQ3 $L_d$ ドリフト条件のもとで、グリーン関数がミュケンホプト $A_\infty$ クラスに属することを示せるか？
• RQ4 ファービス・ストルックおよびファングハ・リン推定は、$L_d$ ドリフトの設定にどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 $L_d$ ドリフト仮定のもとで、解の弱一意性は保証されるか？

主な発見

• ドリフトが $L_d(\mathbb{R}^d)$ に属する伊藤型 SDE に対して、弱解が近似および近似過程の分布のタイトネスに基づいて存在する。
• 関連する楕円型作用素のグリーン関数は $L^{d/(d-1)}(\mathbb{R}^d)$ に属し、$\|b\|_{L_d}$ および強楕円性定数にのみ依存する一様な境界を持つ。
• グリーン関数はより高い可 summability を満たす：ファービス・ストルック推定により、ある $p > d/(d-1)$ に対して $L^p(\mathbb{R}^d)$ に属することが示された。
• グリーン関数はミュケンホプト $A_\infty$ クラスに属し、逆ホルダー不等式および二重性を満たす。
• 解過程は強いマルコフ過程であり、$L_d$ ドリフト条件のもとで弱一意性が保証される。
• 本稿は、球からの停留時間が $\rho^\nu$（$\nu>0$）の形式で下界推定を満たすことを確立し、これが可 summability 結果の根拠となっている。