[論文レビュー] On Stochastic Evolution Equations with non-Lipschitz Coefficients

Xicheng Zhang|ArXiv.org|Mar 9, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非リプシッツ係数を有する確率的発展方程式（後退型、関数型、ボルテラ型を含む）の解の存在および一意性を、進化三重項フレームワークを用いて確立する。主な貢献は、非線形性が非リプシッツである場合のKrylov-Rozovskii理論の拡張であり、確率的多孔質媒体方程式や確率的反応拡散方程式などの退化的・準線形SPDEを扱えるようにし、停止時刻技法と単調性推定を用いて妥当性を検証する。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence and uniqueness of solutions for several classes of stochastic evolution equations with non-Lipschitz coefficients, that is, backward stochastic evolution equations, stochastic Volterra type evolution equations and stochastic functional evolution equations. In particular, the results can be used to treat a large class of quasi-linear stochastic equations, which includes the reaction diffusion and porous medium equations.

研究の動機と目的

• 非リプシッツ係数を有する確率的発展方程式に対する古典的Krylov-Rozovskii理論を拡張すること。
• 非リプシッツのドリフトおよび拡散係数を有する後退型確率的発展方程式の解の存在および一意性を確立すること。
• 非リプシッツ非線形性を有するボルテア型方程式を含む、確率的関数型積分発展方程式のためのフレームワークを構築すること。
• 一般化された結果を、確率的多孔質媒体方程式や確率的反応拡散方程式などの準線形SPDEに適用し、確率的退化性を許容すること。
• 標準的なリプシッツ条件が成立しない確率的強制係数を有するSPDEにおける課題を克服すること。

提案手法

• 進化三重項フレームワーク（X1 ⊂ H ⊂ X1*）を用いて、非リプシッツ非線形性を有する準線形SPDEを扱う。
• 確率的発展方程式設定における確率的強制係数を管理するため、停止時刻技法を適用する。
• 存在性および一意性の証明に、ガラーキン近似とピカール反復を用いる。
• 時間、空間、確率的依存性を有する係数を伴う演算子AおよびBに対して、単調性および強制性条件（H1–H4）を課す。
• 非線形項を制御するため、重み付きLp空間およびソボレフ空間における伊藤の公式とエネルギー推定を用いる。
• ホルダーおよびヤングの不等式を用いて、具体的なSPDEに対して抽象的条件（H1）–（H4）が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なリプシッツ条件が成立しない非リプシッツ係数を有する確率的発展方程式に対して、解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 進化三重項の枠組みにおいて、非リプシッツ係数を有する後退型確率的発展方程式をどのように解くことができるか？
• RQ3 非リプシッツ非線形性を有する確率的ボルテア型および関数型積分発展方程式は、ピカール反復および単調性を用いて取り扱えるか？
• RQ4 抽象的フレームワークは、確率的拡散係数が確率的である多孔質媒体方程式のような退化SPDEに拡張可能か？
• RQ5 結果は、ブラウン運動のパスに依存する退化拡散係数を有する、乗法的ノイズを有する確率的反応拡散方程式に適用可能か？

主な発見

• 抽象的フレームワークにより、単調性および強制性条件（H1）–（H4）の下で、非リプシッツ係数を有する確率的発展方程式の解の存在および一意性が保証される。
• 確率的拡散係数 |wt|·Δ(|u|^{p-2}u) を有する確率的多孔質媒体方程式は、ブラウン運動のほとんどすべてのパスに対して、一般化された意味で一意な解を有する。
• 乗法的ノイズ √|wt|·u·dwt を有する確率的反応拡散方程式は、u ∈ L²([0,T]; H¹₀) ∩ Lᵖ([0,T]×O) ∩ C([0,T]; L²) almost surely を満たす一意な解を有する。
• 解写像はL²(O)ノルムにおいて連続であり、解は確率的時間依存強制係数を含むエネルギー推定を満たす。
• 停止時刻およびパスごとの解析を用いることで、解の拡散係数がほとんど確実にある時点で消える退化SPDEを効果的に取り扱える。
• リプシッツ連続性の必要性を排除し、ドリフトおよび拡散係数の任意の成長を許容することで、Krylov-RozovskiiおよびPardouxの先行研究を一般化する。