[論文レビュー] On Stochastic Generators of Completely Positive Cocycles

V. P. Belavkin|ArXiv.org|Dec 12, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、完全正の（CP）写像の量子確率的コサイクルの形生成子の完全発散性（CD）を通じて、それらの特徴付けを確立する。w*-解析的かつ有界なCD形生成子が、量子確率的微分方程式を介して一意的なCPコサイクルを生じることを証明し、構造写像と発散子および形生成子の拡張理論を明示的に導出し、Lindblad型ダイナミクスを非マルコフ的かつ確率的設定へと拡張する。

ABSTRACT

A characterisation of the generators of quantum stochastic cocycles of completely positive (CP) maps is given in terms of the complete dissipativity (CD) of its form-generator. The pseudo-Hilbert dilation of the stochastic form-generator and the pre-Hilbert dilation of the corresponding dissipator is found. The general form of the linear continuous structural maps for the algebra of all bounded operators is derived and the quantum stochastic flow for the corresponding cocycle is outlined. It is proved that any w*-analytical bounded CD form-generator give rise to a quantum stochastic CP cocycle over a von Neumann algebra.

研究の動機と目的

• 完全正の写像の量子確率的コサイクルの生成子を完全発散性（CD）の観点から特徴付けること。
• 確率的形生成子の擬ヒルベルト拡張と、対応する発散子の前ヒルベルト拡張を構築すること。
• ヒルベルト空間上における有界作用素代数の線形連続構造写像の一般形を導出すること。
• von Neumann代数上でのw*-解析的かつ有界なCD形生成子に対して、量子確率的CPコサイクルの存在と一意性を確立すること。

提案手法

• イト型積分子 $\mathrm{d}A_{\nu}^\mu$ と時不変生成子 $\alpha_{\nu}^\mu$ を用いた量子確率的微分方程式（QSDE）を定義し、コサイクルの時間発展を記述する。
• 平坦性（$\flat$-性質）とHudson-Parthasarathy微積分を適用し、量子イト規則および随伴構造との整合性を保証する。
• 構造写像 $\lambda_{\nu}^\mu = \alpha_{\nu}^\mu + \delta_{\nu}^\mu$ の一般形を導出し、退化表現下での条件付き完全正性を証明する。
• Fock空間 $\mathbb{C}^d \otimes L^2(\mathbb{R}_+)$ 上の概空間と指数ベクトルを用いて、形生成子の拡張を構成する。
• コサイクルを $\phi_t(X) = F_t^\dagger X F_t$ の形で表現し、$F_t$ が生成項とノイズ項を有するQSDEを満たすことを示す。
• 量子確率的積分方程式の反復を用いて、CP解の存在と一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子にどのような条件を課えると、量子確率的コサイクルが完全正のままであるか？
• RQ2 CPコサイクルの形生成子は、完全発散性の観点からどのように特徴付けられるか？
• RQ3 量子確率的過程の文脈において、有界作用素の線形連続構造写像の構造は何か？
• RQ4 w*-解析的かつ有界なCD形生成子は、常にvon Neumann代数上に一意的なCPコサイクルを生成できるか？
• RQ5 発散子と形生成子は、より大きなヒルベルト空間構造へとどのように拡張できるか？

主な発見

• 任意のw*-解析的かつ有界な完全発散性（CD）形生成子は、von Neumann代数上に一意的な量子確率的CPコサイクルを生じる。
• 構造写像の一般形は $\boldsymbol{\lambda}(X) = \boldsymbol{\varphi}(X) - \boldsymbol{\iota}(X)\boldsymbol{K} - \boldsymbol{K}^\dagger\boldsymbol{\iota}(X)$ で与えられ、ここで $\boldsymbol{\varphi}$ は有界なCP写像である。
• コサイクル解は $\phi_t(X) = V_t^\dagger X V_t$ の形に表現され、$V_t$ は生成項、消滅項、および時間積分項を有するQSDEを満たす。
• 発散子は前ヒルベルト拡張を有し、形生成子は $\mathbb{C}^d \otimes L^2(\mathbb{R}_+)$ 上のFock空間における擬ヒルベルト拡張を有する。
• QSDEの解は一意的であり、量子確率的積分方程式の反復を用いて構成される。
• 条件 $\sum_{k,l}\langle\eta_k|\boldsymbol{\iota}(X_{kl})\eta_l\rangle = 0 \Rightarrow \sum_{k,l}\langle\eta_k|\boldsymbol{\lambda}(X_{kl})\eta_l\rangle \geq 0$ は、構造写像の条件付き完全正性を特徴付ける。