[論文レビュー] On strict convexity and $C^1$ regularity of potential functions in optimal transportation

Neil S. Trudnger, Xu‐Jia Wang|ArXiv.org|Feb 27, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、コスト関数の条件(A3)、有界な密度、およびターゲット領域の$c$-凸性の下で、最適輸送におけるポテンシャル関数の厳密な強凸性と$C^1$正則性を確立する。直接的な幾何学的・解析的議論を用いて、双対ポテンシャルが厳密に$c$-凹であること、およびポテンシャルが連続的に微分可能であることを証明し、以前の研究におけるギャップを解消するとともに、近似を用いてより正則性の低いデータへ結果を拡張する。

ABSTRACT

This note concerns the relationship between conditions on cost functions and domains and the convexity properties of potentials in optimal transportation and the continuity of the associated optimal mappings. In particular, we prove that if the cost function satisfies the condition (A3), introduced in our previous work with Xinan Ma, the densities and their reciprocals are bounded and the target domain is convex with respect to the cost function, then the potential is continuously differentiable and its dual potential strictly concave with respect to the cost function. Our result extends, by different and more direct proof, similar results of Loeper proved by approximation from our earlier work on global regularity.

研究の動機と目的

• 従来の研究よりも弱い条件下で、最適輸送におけるポテンシャル関数の$C^1$正則性および厳密な凸性を確立すること。
• 近似手法を用いた従来の結果とは異なり、$C^1$正則性を直接証明すること。
• MTW[MTW]における内部正則性の比較議論に存在するギャップを、ポテンシャルの完全な$c$-凹性の確立によって解消すること。
• 条件(A1)–(A3)のもとで、$f,g > 0$のときポテンシャル関数$u$が完全に$c$-凹であることを示し、グローバルな$c$-サポートが存在することを保証すること。

提案手法

• ターゲット領域$\Omega^*$の$c$-凸性と(A3)条件に基づく幾何的議論を用いて、ポテンシャルがその$c$-サポートと接触する集合を分析する。
• ポテンシャル$v$と、球の境界近くで$v$よりも厳密に小さいように構成された摂動関数$\overline{v}$との間の比較原理を適用する。
• 解析的$c$-凸性の定式化と(A3)における厳密な不等式を用い、$v$が厳密に$c$-凹でない場合に矛盾を導く。
• $v$が半凹であることと、双対最小値表現を満たすことを用いて、部分微分の挙動を制御する。
• $f,g > 0$のときポテンシャルが定数の加法的不変性を除いて一意に定まることに依拠し、有界な密度から一般の正の可積分密度への結果の拡張を近似を用いて行う。
• $c$-サポート関数$h_t(x) = (1-t)c(x,y_0) + t c(x,y_1) - a_t$を用いて中間の$c$-サポートの挙動を分析し、厳密な凹性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスト関数および密度にどのような条件下で、最適輸送におけるポテンシャル関数が$C^1$正則性を達成するか。
• RQ2 条件(A3)および有界な密度のもとで、近似を用いずに直接的に双対ポテンシャルの厳密な$c$-凹性を確立できるか。
• RQ3 条件(A3)が成立しない場合、ポテンシャル関数の$C^1$正則性または完全な$c$-凹性が失われるか。
• RQ4 MTW[MTW]における内部正則性の比較議論は、ポテンシャルの$C^1$正則性によって正当化可能か。
• RQ5 $u$が$C^1$かつ(A3)を満たすとき、ポテンシャルとその$c$-サポートの接触集合は連結か。

主な発見

• コスト関数が(A1)–(A3)を満たし、$\Omega^*$が$c$-凸であり、$f,g$が0から離れているとき、双対ポテンシャル$v$は厳密に$c$-凹である。
• 同じ条件下で、ポテンシャル$u$は$C^1$滑らかであり、最適輸送写像$T$が連続であることを示唆する。
• 有界な密度から一般の正の可積分密度$f,g$へと近似を用いて結果を拡張でき、$C^1$正則性および厳密な$c$-凹性を維持する。
• $f,g > 0$のとき、ポテンシャル$u$は完全に$c$-凹であり、すべての局所的$c$-サポートがグローバルなものであることを保証する。
• 本証明はロエパーの近似に基づく手法とは異なり、直接的な代替手段を提供し、MTW[MTW]で用いられた比較議論におけるギャップを解消する。
• 次元2において、$u$の完全な$c$-凹性は、$C^1$正則性および$c$-サポートの構造から直接導かれる。