[論文レビュー] On strong approximation for algebraic groups

Andrei S. Rapinchuk|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Topology and Set Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、代数群における強近似に関する包括的なサーベイを提供し、古典的な $S$-整数群と、ザリスキ・_dense な部分群に関する現代的結果に焦点を当てる。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ が基本行列の生成によって強近似を満たす一方、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ は満たさないことが示され、ザリスキ・_dense な部分群のアデール的閉包に関するワイズフェーラーの定理を用いて、これらの結果が一般化される。

ABSTRACT

This is an expanded version of my talk given at the workshop "Hot Topics: Thin Groups and Super-strong Approximation" (MSRI, Berkeley, February 6-10, 2012).

研究の動機と目的

• 代数群における強近似に関する既知の結果をサーベイすること、特に $S$-整数およびザリスキ・_dense な部分群について。
• $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ の間の強近似に関する違いを、定義方程式が類似しているにもかかわらず明確にすること。
• ザリスキ・_dense な部分群のアデール的閉包に関するワイズフェーラーの定理と、そのような部分群の構造への影響を提示すること。
• 特にルボツキーの代替定理および線型群における部分群成長に関する応用を強調すること。
• 特に特徴 2 および 3 の正の特性における技術的課題をピンクの最小三重項理論を用いて解決すること。

提案手法

• $X(\hat{\mathbb{Z}}) = \varprojlim X(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ における逆極限位相を用いて、$X(\mathbb{Z})$ が $X(\hat{\mathbb{Z}})$ に密であることで強近似を定義する。
• 中国剰余定理を用いて $\hat{\mathbb{Z}} \simeq \prod_p \mathbb{Z}_p$ を特定し、$X(\mathbb{Z}_p)$ における $p$-進位相を用いることを可能にする。
• $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ における基本行列の生成を用いて、減少写像の全射性を証明し、$\mathrm{SL}_2$ における強近似を確立する。
• ザリスキ・_dense な部分群のための定義環を、$\gamma \in \Gamma$ に対する $A = \mathrm{tr}(\mathrm{Ad} \, \gamma)$ として定義する。
• ワイズフェーラーの定理を適用して、ザリスキ・_dense かつ有限生成な部分群 $\Gamma \subset G(k)$ に対して、アデール的閉包 $\widehat{\Gamma}$ が $G(\widehat{A_b})$ において開であることを示す。
• 準素完備化 $\widehat{A_b}$ および局所化 $A_b$ を用いて、$\Gamma'$ が $G_{A_b}(\widehat{A_b})$ に密に埋め込まれるような $A_b$ 上の群様式を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $m$ に対して、減少写像 $\rho_m: \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ が全射のまま保たれる条件は何か？
• RQ2 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ と類似した定義方程式を持つにもかかわらず、なぜ強近似を満たさないのか？
• RQ3 ワイズフェーラーの定理を用いて、単純連結かつほぼ単純な代数群におけるザリスキ・_dense な部分群のアデール的閉包をどのように記述できるか？
• RQ4 トレース環およびその局所化は、代数閉体上でのザリスキ・_dense な部分群の構造論において果たす役割は何か？
• RQ5 強近似は、ルボツキーの代替定理のような線型群における構造的二分法をどのように導くのか？

主な発見

• 任意の $m \geq 1$ に対して、減少写像 $\rho_m: \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ は全射であり、これにより $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ における強近似が確立される。
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ は、その像が $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ において準素位相で稠密でないため、強近似を満たさない。
• ワイズフェーラーの定理により、ザリスキ・_dense かつ有限生成な部分群 $\Gamma \subset G(k)$ に対して、ある環 $A_b$ が存在し、$\Gamma'$ が $G_{A_b}(\widehat{A_b})$ に密に埋め込まれることを保証する。
• 任意の $\Gamma = \langle g_1, \dots, g_d \rangle \subset \mathrm{SL}_n(\mathbb{Z})$ に対して、ある $N = N(d,m,n)$ が存在し、すべての素数 $p > N$ に対して $\rho_p(\Gamma) = \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ が成り立つ。
• ルボツキーの代替定理は、特性 0 の体上の有限生成線型群が、ある有限素数集合 $\Pi$ に対して、準素完備化が $G(\widehat{\mathbb{Z}_\Pi})$ へ射影する、またはほとんど可解であることを示す。
• 正の特性 2 および 3 では、トレース環が正しい定義環でないことがある。この場合、ピンクの最小三重項理論が正しい枠組みを提供する。