[論文レビュー] On strong rainbow connection number

Xueliang Li, Yuefang Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は強彩色連結数 $src(G)$ を調査し、$m$ を辺の数、$t$ を $G$ の辺に素な三角形の数とするとき、$src(G) \leq m - 2t$ が成り立つことを示しており、等号成立は $G$ が特定のグラフ族 $\overline{\mathcal{G}}_t$ に属する場合に限る。$src(G) = m-2$ を満たすグラフを同定し、立方体グラフの線グラフにこの不等式を適用することで、$n$ 頂点をもつ立方体グラフ $G$ に対して $src(L(G)) \leq n$ が得られる。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph, where adjacent edges may be colored the same, is a rainbow path if no two edges of it are colored the same. For any two vertices $u$ and $v$ of $G$, a rainbow $u-v$ geodesic in $G$ is a rainbow $u-v$ path of length $d(u,v)$, where $d(u,v)$ is the distance between $u$ and $v$. The graph $G$ is strongly rainbow connected if there exists a rainbow $u-v$ geodesic for any two vertices $u$ and $v$ in $G$. The strong rainbow connection number of $G$, denoted $src(G)$, is the minimum number of colors that are needed in order to make $G$ strong rainbow connected. In this paper, we first investigate the graphs with large strong rainbow connection numbers. Chartrand et al. obtained that $G$ is a tree if and only if $src(G)=m$, we will show that $src(G) eq m-1$, so $G$ is not a tree if and only if $src(G)\leq m-2$, where $m$ is the number of edge of $G$. Furthermore, we characterize the graphs $G$ with $src(G)=m-2$. We next give a sharp upper bound for $src(G)$ according to the number of edge-disjoint triangles in graph $G$, and give a necessary and sufficient condition for the equality.

研究の動機と目的

• 大規模な強彩色連結数をもつグラフを同定すること、特に $src(G) = m-2$ を満たすグラフを同定すること。
• グラフ $G$ に含まれる辺に素な三角形の数に基づいて $src(G)$ の鋭い上界を確立すること。
• 上界における等号成立の必要十分条件を特定すること。
• この上界を連結な立方体グラフの線グラフに応用し、$src(L(G)) \leq n$ を導出すること。

提案手法

• 等号成立条件を満たさない場合に $src(G) < m - 2t$ が成り立つことを示すために、独創的な辺彩色構成を用いる。
• 上界における等号成立が成り立つグラフ族 $\overline{\mathcal{G}}_t$ を定義し、三角形とカットエッジに関する構造的制約に基づく。
• $D_2$-ツリーの概念を用いて、任意の最小強彩色連結彩色において、そのツリーに属するすべての辺が異なる色をもつことを証明する。
• エッジカットや誘導部分グラフを含む構造的グラフ理論を用いて、三角形および次数2の頂点が $src(G)$ に果たす役割を分析する。
• 線グラフのクリーク分解を用いて $L(G)$ における辺に素な三角形の構造をモデル化し、主定理の適用を可能にする。
• 背理法と辺彩色の議論を用いて、$src(G) = m - 2t$ が成り立つのは $G \in \overline{\mathcal{G}}_t$ のときに限ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ツリーであるグラフにおいて $src(G)$ の最大値は何か？ また、$src(G) = m-2$ を満たすグラフはどれか？
• RQ2 グラフ $G$ に含まれる辺に素な三角形の数に基づいて、$src(G)$ の鋭い上界は何か？
• RQ3 どのような構造的条件を満たすグラフ $G$ に対して $src(G) = m - 2t$ が成り立つか？
• RQ4 この上界をどのように応用して、立方体グラフの線グラフの強彩色連結数を導出できるか？

主な発見

• 強彩色連結数は $src(G) \leq m - 2t$ を満たし、$m$ を辺の数、$t$ を $G$ の辺に素な三角形の数とする。等号成立は $G \in \overline{\mathcal{G}}_t$ のときに限る。
• src(G) = m-2 を満たすグラフは、5-サイクル、または3つの特定のグラフクラスに属するもの（ツリーの場合は除く）として同定される。
• $src(G) = m-1$ となることは不可能であるため、$src(G) \leq m-2$ が成り立つのは $G$ がツリーでない場合に限る。
• $n$ 頂点をもつ連結な立方体グラフ $G$ の線グラフ $L(G)$ に対して、$src(L(G)) \leq n$ が成り立つ。これは $3n$ 条の辺と $n$ 個の辺に素な三角形から導かれる。
• 等号成立条件 $src(G) = m - 2t$ が成り立つのは、$G$ のすべての三角形が高々1つの次数2頂点を含むときに限る。
• 証明により、任意の最小強彩色連結彩色において、$D_2$-ツリーに属するすべての辺が異なる色をもつことが示され、これが上界のタイトさに寄与している。