[論文レビュー] On strongly just infinite profinite branch groups

François Le Maı̂tre, Phillip Wesolek|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、強い有界性特性（例えば、Bergman性質、非可算な順序型、Cayley有界性）と、profinite分岐群における自動連続性特性の間で包括的な同値性を確立する。強いついぶん無限なpro-infinitive分岐群に対して、これらの組合せ的有界性条件が可算指数性質、弱Steinhaus性質、および正規可算指数性質に同値であることを証明する。主な貢献は、非離散的で、コンパクト生成で、局所コンパクトで、単純なポーランド群の新規クラス（Burger–Mozesの普遍群）を構成し、強い自動連続性特性を有することである。これは、離散群に対して長年の疑問を否定的に解消し、非離散設定において初めてこのような例を提供する。

ABSTRACT

For profinite branch groups, we first demonstrate the equivalence of the Bergman property, uncountable cofinality, Cayley boundedness, the countable index property, and the condition that every non-trivial normal subgroup is open; compact groups enjoying the last condition are called strongly just infinite. For strongly just infinite profinite branch groups with mild additional assumptions, we verify the invariant automatic continuity property and the locally compact automatic continuity property. Examples are then presented, including the profinite completion of the first Grigorchuk group. As an application, we show that many Burger-Mozes universal simple groups enjoy several automatic continuity properties.

研究の動機と目的

• 組合せ的有界性および自動連続性特性を用いて、強いついぶん無限なprofinite分岐群を特徴付けること。
• このクラスにおいて、Bergman性質、非可算順序型、Cayley有界性、およびさまざまな自動連続性条件の完全な同値性を確立すること。
• 結果をBurger–Mozesの普遍単純群に適用し、強い自動連続性特性を有することを示すこと。
• これらの普遍群における共役部分群の分類を行い、構造的剛性を明らかにすること。
• 非離散的で、コンパクト生成、局所コンパクト、ポーランド的、単純な群のうち、強い自動連続性を有する初の例を提供すること。

提案手法

• 剛性安定化子の開導来部分群を用いた導来部分群基準を用いて、強いついぶん無限なpro-infinitive分岐群を特徴付けること。
• Bergman性質、非可算順序型、Cayley有界性、弱Steinhaus、可算指数、正規可算指数、FA、および開導来部分群の9条件の同値性を確立すること。
• やや弱い仮定（局所的混乱、一様な交換子幅）の下で、不変自動連続性性質および局所コンパクト自動連続性性質を適用すること。
• 反復された自己同型群の半直積に同型なコンパクト開部分群の構成により、既知の有界性結果への還元を可能にすること。
• Bergman性質および共役部分群の技法を用いて、Burger–Mozes群における部分群を分類すること。
• pro-infinitive分岐群が一意なポーランド群位相を有し、強いついぶん無限な群は、離散位相とprofinite位相の2つしか局所コンパクト位相を持たないという事実を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 profinite分岐群において、Bergman性質、非可算順序型、Cayley有界性、可算指数性質は同値か？
• RQ2 やや弱い仮定（局所的混乱、一様な交換子幅）の下で、不変および局所コンパクト自動連続性性質は、強いついぶん無限なprofinite分岐群に対して確立可能か？
• RQ3 Burger–Mozesの普遍単純群は、強い自動連続性特性を有するか？
• RQ4 これらの普遍群における共役部分群の構造はいかなるものか？
• RQ5 非離散的で、コンパクト生成、局所コンパクト、ポーランド的、単純な群のうち、強い自動連続性を有するものを構成可能か？

主な発見

• 強いついぶん無限なpro-infinitive分岐群に対して、Bergman性質、非可算順序型、Cayley有界性、弱Steinhaus性質、可算指数性質がすべて同値である。
• やや弱い仮定（局所的混乱、一様な交換子幅）の下で、このような群は不変自動連続性性質および局所コンパクト自動連続性性質を有する。
• 最初のGrigorchuk群のpro-infinitive完備化は、強いついぶん無限なpro-infinitive分岐群であるため、上記のすべての同値性を満たす。
• d ≥ 6 かつ F が完全で、2重推移的で、点安定化子によって生成される場合、Burger–Mozesの普遍単純群 U(F)+ は可算指数性質、不変自動連続性、局所コンパクト自動連続性を有する。
• このような U(F)+ のすべての共役部分群は、有限、コンパクトで開、または全体集合に等しいため、強い構造的剛性が示唆される。
• 本結果により、非離散的で、コンパクト生成、局所コンパクト、ポーランド的、単純な群のうち、強い自動連続性を有する初の既知の例が得られた。