[論文レビュー] On Strongly Nonlinear Eigenvalue Problems in the Framework of Nonreflexive Orlicz-Sobolev Spaces

Edcarlos D. Silva, J.V. Gonçalves+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非反射的オルリッチ＝ソボレフ空間における $Φ$-ラプラシアン作用素によって駆動される強非線形固有値問題に対して、$Δ_2$ 条件を仮定しない非負弱解の存在および多重性を確立する。主な貢献は、反射性を欠く空間においても、変分的および位相的技法を用いて、大きなパラメータ値 $\lambda$ に対して $m-1$ 個の解が存在することを示したことである。これは、非反射的オルリッチ＝ソボレフ空間の適切に構成された部分空間における議論によって達成される。

ABSTRACT

It is established existence and multiplicity of solutions for strongly nonlinear problems driven by the $Φ$-Laplacian operator on bounded domains. Our main results are stated without the so called $Δ_{2}$ condition at infinity which means that the underlying Orlicz-Sobolev spaces are not reflexive.

研究の動機と目的

• 非反射的オルリッチ＝ソボレフ空間における $Φ$-ラプラシアン作用素を含む強非線形固有値問題の弱解の存在および多重性を確立すること。
• 標準的な $Δ_2$ 条件を無限遠で除去すること。この条件は反射性を意味するとされているため、その結果、非反射的設定への拡張が可能になる。
• 非線形関数 $f(u)$ に対して一般な成長条件を仮定し、指定された区間内で正負を繰り返す振動的挙動を含む場合の解析を行うこと。
• エネルギー汎関数が非反射的オルリッチ＝ソボレフ空間全体で適切に定義されない、あるいは $C^1$ でない場合に、それを扱うための枠組みを提供すること。

提案手法

• 特定の成長および単調性条件を満たす $C^1$ 関数 $\phi$ を用いて定義される $Φ$-ラプラシアン作用素を用いる。
• オルリッチ＝ソボレフ空間 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ を用い、$\Phi(t) = \int_0^t s\phi(s)\,ds$ と定義するが、$\Delta_2$ 条件を仮定しない。
• 下解および上解を用いた変分的および位相的技法を用いて、複数の解の存在を証明する。
• $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ の適切な部分空間を構成し、その上でエネルギー汎関数が適切に定義され、臨界点を有することを示す。
• 非反射的オルリッチ空間における一般化されたグリーンの公式およびトレース理論を用いて、$W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ に属する関数のゼロトレース条件を特徴付ける。
• 関数 $f$ を奇関数に拡張することで、少なくとも $2(m-1)$ 個の弱解が得られ、そのうち $m-1$ 個が正、$m-1$ 個が負であり、それぞれが $L^\infty$-ノルムが区間 $(a_k, a_{k+1}]$ 内にあることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非反射的オルリッチ＝ソボレフ空間における $Φ$-ラプラシアン問題に対して、$Δ_2$ 条件を満たさない状況でも、複数の非負弱解の存在を保証できるか？
• RQ2 非線形関数 $f(u)$ にどのような条件を課すと、$L^\infty$-ノルムが所定の区間内にある $m-1$ 個の異なる解が存在するか？
• RQ3 エネルギー汎関数が非反射的オルリッチ＝ソボレフ空間全体で $C^1$ でない、あるいはそもそも適切に定義されない場合、変分的技法をどのように適合できるか？
• RQ4 共役関数 $\tilde{\Phi}$ およびトレース理論は、非反射的設定におけるゼロトレース空間 $W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ の特徴付けにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• $\overline{\lambda}$ より大きい任意の $\lambda > \overline{\lambda}$ に対して、$W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ 内に少なくとも $m-1$ 個の非負弱解 $u_1, \dots, u_{m-1}$ が存在し、$\|u_k\|_\infty \in (a_k, a_{k+1}]$ を満たす。
• 条件 $(f_1)$--$(f_3)$ を満たせば、$W_0^{1}L_{\Phi}(\Omega)$ が $\Delta_2$ 条件を欠くために非反射的であっても、$m-1$ 個の解の存在が保証される。
• 逆に、非負解 $u$ が $\|u\|_\infty \in (a_k, a_{k+1}]$ を満たすならば、$\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(s)\,ds > 0$ が成り立つ必要がある。
• ヘスおよびロク＝シュミットの $p$-ラプラシアンに関する先行研究を、より一般な $Φ$-ラプラシアンおよび非反射的空間へと拡張した結果である。
• 非反射的 $Φ$-関数の例として、$\Phi(t) = e^t - t + 1$、$\Phi(t) = (1+t^2)^\gamma - 1$（$\gamma > 1/2$）および $\Phi(t) = t^p \log(1+t)$（$p \geq 1$）を含む。
• 関数 $f$ を奇関数に拡張することで、少なくとも $2(m-1)$ 個の弱解が存在する：$m-1$ 個の正の解と $m-1$ 個の負の解であり、それぞれの $L^\infty$-ノルムが区間 $(a_k, a_{k+1}]$ 内にある。