[論文レビュー] On Structural Invariants in the Energy-Based Control of Infinite-Dimensional Port-Hamiltonian Systems with In-Domain Actuation

Tobias Malzer, Hubert Rams+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元空間内に分布する制御入力を有する無限次元ポート・ハミルトニアン系に対して、新規のエネルギーに基づく制御フレームワークを提案する。ジャットバンドルに基づくポート・ハミルトニアン形式と、エネルギー保存則を満たす相互接続スキームを活用することで、構造的不変量を用いた動的制御器設計が可能となり、所望の平衡状態の安定化が達成される。主な貢献は、2次元系へのインドメイン・エネルギー・カスミア制御の体系的かつ初の拡張であり、有限差分離散化を用いた数値的妥当性検証とともに、圧電素子で駆動されるキルヒホッフ・ラヴ板を用いた実証例によって示されている。

ABSTRACT

This contribution deals with energy-based in-domain control of systems governed by partial differential equations with spatial domain up to dimension two. We exploit a port-Hamiltonian system description based on an underlying jet-bundle formalism, where we restrict ourselves to systems with 2nd-order Hamiltonian. A certain power-conserving interconnection enables the application of a dynamic control law based on structural invariants. Furthermore, we use various examples such as beams and plates with in-domain actuation to demonstrate the capability of our approach.

研究の動機と目的

• 2次元空間的次元を有する、インドメイン制御を有する無限次元ポート・ハミルトニアン系へのエネルギーに基づく制御手法、特にエネルギー・カスミア法の体系的拡張を達成すること。
• ジャットバンドル形式に由来する構造的不変量を用いて安定性を保証する動的制御器フレームワークを構築すること。
• 無限次元設定において非自明であるが、2次元系における空間的に分布するポートのための一貫したエネルギー収支関係を定式化する課題に取り組むこと。
• 実用的2次元系としての、圧電マクロファイバー複合材パッチで駆動されるキルヒホッフ・ラヴ板を対象として、本手法の実現可能性と有効性を示すこと。
• 特定の入力割り当て制約（空間領域内での点状駆動など）の下で、制御器設計の体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• 2階のハミルトニアンを有する無限次元ポート・ハミルトニアン系を記述するためのジャットバンドル形式を用い、系の動的挙動の幾何的特徴付けを可能にする。
• プラントと制御器間のエネルギー保存則を満たす相互接続を実現するためのエネルギー収支関係を、カルタン形式を用いて導出する。
• 制御器のエネルギー関数と結合項が満たすべき微分代数的条件（28a）–（28e）を通じて、構造的不変量を導出する。
• 空間的にサンプリングされたプラント変数（例：駆動点における変位 w|A1, w|A2）と関連する状態を持つ有限次元動的制御器を設計し、エネルギー形状化と減衰注入を保証する。
• 空間的離散化に有限差分係数法を適用し、PDE-ODE結合構造を保存する形で数値的妥当性検証を可能にする。
• 20区間ずつの空間離散化（各方向）を用いて、2組のMFC駆動素子を有する2次元キルヒホッフ・ラヴ板モデルに対して制御方式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インドメイン制御を有する2次元空間的次元を有する無限次元ポート・ハミルトニアン系へのエネルギーに基づく制御を、どのように体系的に拡張できるか？
• RQ2 空間的に分布するポートによる相互接続下で、閉ループ系の安定性を保証するための構造的不変量に必要な条件は何か？
• RQ3 微分幾何的道具を用いて、空間的に分布する駆動素子を有する系のための一貫したエネルギー収支関係をどのように導出できるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、空間領域内での点状駆動といった入力制約をどのように扱えるか？
• RQ5 制御器のエネルギー関数と結合項が、所望の平衡状態への漸近的安定性を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された制御方式は、インドメインで圧電素子で駆動される2次元キルヒホッフ・ラヴ板に対して、数値シミュレーションにより所望の平衡状態の安定化に成功した。
• 閉ループエネルギー関数 Hcl は正定値であり、その時間微分は非正であることが確認され、安定性を満たす必要条件を満たしている。
• 制御器の動的挙動は、制御器状態が空間的にサンプリングされたプラント変数（例：w|A1, w|A2）を直接表現する形で構造化されており、直接的な測定に基づく制御が可能である。
• 有限次元動的制御器を用いることで、点状駆動制約下でもエネルギー形状化と減衰注入を達成している。
• 導出された構造的不変量（28a）–（28e）は、エネルギー保存則を満たす相互接続と安定性を保証するための体系的フレームワークを提供する。
• 有限差分離散化スキームは、系の動的挙動と制御器の結合を効果的に捉えており、数値的妥当性検証には各空間方向に20区間を用いた。