[論文レビュー] On structure of regular Dirichlet subspaces for one-dimensional Brownian motion

Liping Li, Jiangang Ying|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元ブラウン運動の正則ディリクレ部分空間の構造を、トレース法を用いて調査する。測度的稠密な開集合 $G$ の境界 $F = G^c$ におけるそのような部分空間のトレースは非局所的ディリクレ形式であることが示され、直交補空間はダーニング変換を用いた時間変化吸収ブラウン運動に対応する。これにより、トレース過程が局所的および非局所的成分に分解されることが明らかになる。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to explore the structure of regular subspaces of 1-dim Brownian motion. As outlined in \cite{FMG} every such regular subspace can be characterized by a measure-dense set $G$. When $G$ is open, $F=G^c$ is the boundary of $G$ and, before leaving $G$, the diffusion associated with the regular subspace is nothing but Brownian motion. Their traces on $F$ still inherit the inclusion relation, in other words, the trace Dirichlet form of regular subspace on $F$ is still a regular subspace of trace Dirichlet form of one-dimensional Brownian motion on $F$. Moreover we have proved that the trace of Brownian motion on $F$ may be decomposed into two part, one is the trace of the regular subspace on $F$, which has only the non-local part and the other comes from the orthogonal complement of the regular subspace, which has only the local part. Actually the orthogonal complement of regular subspace corresponds to a time-changed Brownian motion after a darning transform.

研究の動機と目的

• 領域の違いを越えて、1次元ブラウン運動の正則ディリクレ部分空間の本質的構造を理解すること。
• 測度的稠密な開集合 $G$ の境界 $F = G^c$ におけるディリクレ部分空間のトレースが、元のブラウン運動のトレースとどのように関係するかを分析すること。
• 境界 $F$ におけるブラウン運動のトレースディリクレ形式を、部分空間由来の非局所的成分とその直交補空間由来の局所的成分に分解すること。
• 正則ディリクレ部分空間の直交補空間をダーニング変換を用いて時間変化吸収ブラウン運動として特徴付けること。

提案手法

• 測度的稠密な開集合 $G$ の境界 $F = G^c$ における1次元ブラウン運動のディリクレ形式をトレース法で分解する。
• 正則ディリクレ部分空間のトレースが包含関係を保ち、トレース形式の非局所的成分のみを含むことが示される。
• 部分空間のトレースの直交補空間が強局所的ディリクレ形式であることが同定され、時間変化吸収ブラウン運動に対応する。
• ダーニング変換を用いて直交補空間の正則表現を構成し、変形された状態空間 $\mathbb{R}^*_0$ 上での時間変化ブラウン運動と同等であることを示す。
• トレース形式にブルェイン＝デニの分解を適用し、局所的および非局所的成分を分離する。
• スケーリング関数 $s(x) = \int_0^x \mathbf{1}_G(y)\,dy$ を用いた正則ディリクレ部分空間の特徴付けと、速度測度がルベーグ測度であることに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則ディリクレ部分空間のトレースが境界 $F = G^c$ において、元の1次元ブラウン運動のトレースとどのように関係するか。
• RQ2 境界 $F$ におけるブラウン運動のトレースディリクレ形式を非局所的成分と局所的成分に分解できるか。
• RQ3 トレース空間における正則ディリクレ部分空間の直交補空間の確率的解釈は何か。
• RQ4 ダーニング変換は、トレース部分空間の直交補空間の正則表現とどのように関係するか。
• RQ5 正則ディリクレ部分空間のトレースが、トレース形式の非局所的成分のみを含むか。

主な発見

• 境界 $F = G^c$ における正則ディリクレ部分空間のトレースは、$F$ におけるブラウン運動のトレースの正則ディリクレ部分空間であり、ブルェイン＝デニの分解における非局所的成分のみを含む。
• トレース部分空間の直交補空間は強局所的ディリクレ形式であり、そのブルェイン＝デニの分解には、拡散（局所的）成分のみが含まれる。
• 直交補空間は、速度測度 $\mu^*_0 = m^*_0$ を持つ $\mathbb{R}^*_0$ 上での時間変化吸収ブラウン運動としての正則表現を持つ。
• ダーニング変換により、直交補空間の $D$-空間の共通の正則表現が得られ、これは時間変化吸収ブラウン運動と同等であることが示される。
• 境界 $F$ におけるブラウン運動のトレース過程は、2つの直交成分に分解される：1つは部分空間由来（非局所的）、もう1つはその補空間由来（局所的）であり、後者は時間変化吸収ブラウン運動と同等である。
• 部分空間が再帰的である場合、分解は定数を除き一意であり、トレース形式は $\check{\mathcal{F}}_{\text{e}} = \check{\mathcal{F}}^{(s)}_{\text{e}} \oplus \check{\mathcal{G}}^{(s)}$ を満たす。