[論文レビュー] On structured surfaces with defects: geometry, strain incompatibility, internal stress, and natural shapes

Ayan Roychowdhury, Anurag Gupta|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Advanced Materials and Mechanics参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフェン、液晶、薄板などの2次元構造的表面における平行移動、回転、計量の欠陥をモデル化する微分幾何学的枠組みを構築する。欠陥密度を歪み不適合性の源として取り扱い、運動学的分解と弾性物性則を組み合わせることで、内部応力場と自然な変形形状を予測する理論を構築し、小規模な面内ひずみと中程度の回転を伴うキルヒホッフ＝ラウエ薄板理論を統一的に扱える形式を提供する。

ABSTRACT

Given a distribution of defects on a structured surface, such as those represented by 2-dimensional crystalline materials, liquid crystalline surfaces, and thin sandwiched shells, what is the resulting stress field and the deformed shape? Motivated by this concern, we first classify, and quantify, the translational, rotational, and metrical defects allowable over a broad class of structured surfaces. With an appropriate notion of strain, the defect densities are then shown to appear as sources of strain incompatibility. The strain incompatibility relations, with appropriate kinematical assumptions on the decomposition of strain into elastic and plastic parts, and the stress equilibrium relations, with a suitable choice of material response, provide the necessary equations for determining both the internal stress field and the deformed shape. We demonstrate this by applying our theory to Kirchhoff-Love shells with a kinematics which allows for small in-surface strains but moderately large rotations.

研究の動機と目的

• 2次元構造的表面（2次元結晶、液晶、薄板）における欠陥を分析する統一的な幾何学的・機械的枠組みを確立すること。
• 微分幾何学を用いて、平行移動（格子欠陥）、回転（格子歪み）、計量（空孔、成長）の欠陥を体系的に分類・定量化すること。
• 欠陥密度と歪み不適合性の関係を導出し、内部応力と変形形状の予測を可能にすること。
• 塑性ひずみと曲率効果を組み込むことで、古典的板理論を連続的な欠陥分布を含む形に拡張すること。
• 運動学的および物性則の仮定の下で、欠陥を有する2次元表面の自然（応力自由）形状と内部応力場を体系的に決定する手法を提供すること。

提案手法

• 非ユークリッド的微分幾何学を用いて、欠陥を表面計量、接続、曲率における幾何的不適合性としてモデル化する。
• 表面内ねじれ（格子欠陥）、曲率（格子歪み）、非計量性（計量異常）のテンソルを介して欠陥密度を導入する。
• 歪みを弾性部と塑性部に分解し、リーマン曲率テンソルにおける欠陥源に起因する歪み不適合性を導出する。
• Föppl-von Kármán 方程式に欠陥に起因する塑性ひずみ場を組み込み、薄板の支配方程式を適用する。
• 2次元応力平衡のアイry応力関数形式を導出し、応力成分を双調和作用素と欠陥源に結びつける。
• 全ひずみの整合性条件と曲げ・膜剛性の物性則を用いて境界値問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分幾何学を用いて、平行移動、回転、計量の欠陥を、2次元構造的表面に体系的に分類・定量化する方法は何か？
• RQ2 欠陥を有する2次元表面における歪み不適合性の幾何的起源は何か？また、欠陥密度とどのように関係するか？
• RQ3 欠陥分布は、薄い弾性表面の内部応力場および自然（応力自由）変形形状にどのように影響を与えるか？
• RQ4 Föppl-von Kármán 方程式は、塑性ひずみおよび曲率源を介して連続的な欠陥分布を含む形に一般化可能か？
• RQ5 成長や熱的効果に起因する計量異常は、2次元材料における形状不安定性および残留応力にどのように寄与するか？

主な発見

• 格子欠陥、格子歪み、計量異常といった欠陥は、リーマン曲率テンソルを通じて歪み不適合性の源として機能することが示された。
• 歪み不適合性方程式は、Bianchi-Padova 恒等式から導出され、ねじれ、曲率、非計量性の欠陥密度場で表される。
• キルヒホッフ＝ラウエ薄板では、支配方程式は欠陥依存の源項を有するFöppl-von Kármán 方程式に簡略化される：$Dw_{,\beta\beta\beta\beta} + [w,\theta] = D\tilde{\theta}_p$ および $rac{1}{E}\theta_{,\beta\beta\beta\beta} - rac{1}{2}[w,w] = -\tilde{\theta}_p$。
• 曲げ剛性がゼロの膜では、自然形状は非同次的なモンジュ＝アmpsール方程式で支配される：$[w,w] = 2\tilde{\theta}_p$、ここで $ ilde{\theta}_p$ は塑性ひずみ寄与項である。
• 本理論は、グラフェンやリン脂質膜を含む欠陥を有する2次元材料の自然形状と内部応力を成功裏に予測でき、成長に起因する計量異常を伴う場合にも適用可能である。
• 本枠組みは、トーラスやモビウスの帯のようなグローバルな位相的欠陥や、非凸的な材料応答に対しても拡張可能であり、しわや相転移パターンのモデリングが可能となる。