[論文レビュー] On Subcomplete Forcing

Kaethe Minden|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ジェンセンによって導入された、可算閉じる強さの一般化である部分完全な強制法を調査する。部分完全な強制法が、ススリン木の特徴的な一意分岐性を保つこと、部分完全な最大化原理と部分完全な再生原理の等価整合性が大基数と一致することを示し、また対角的プリクラ強制法が部分完全であることも示している。

ABSTRACT

I survey an array of topics in set theory in the context of a novel class of forcing notions: subcomplete forcing. Subcompleteness was originally defined by Ronald Jensen. I have attempted to make the subject somewhat more approachable to set theorists, while showing various properties of subcomplete forcing which one might desire of a forcing class, drawing comparisons between subcomplete forcing and countably closed forcing. In particular, I look at the interaction between subcomplete forcing and $ω_1$-trees, preservation properties of subcomplete forcing, the subcomplete maximality principle, the subcomplete resurrection axiom, and show that generalized diagonal Prikry forcing is subcomplete.

研究の動機と目的

• 部分完全な強制法の定義と性質を明確にすることで、集合論研究者にとってよりアクセスしやすいものとすること。
• 部分完全な強制法が $ω_1$-木、特にススリン木の一意分岐性とどのように作用するかを調査すること。
• 部分完全な最大化原理（MP$_{sc}$）の整合性の強さを分析し、可算閉じる最大化原理と比較すること。
• $H_{\omega_2}$ に関して部分完全な再生原理（RA$_{sc}$）を定義し、その性質を研究し、整合性の強さを特定すること。
• 部分完全な最大化原理と部分完全な再生原理が同時に一貫して成立しうるかを検討し、必要な大基数仮定を同定すること。

提案手法

• バーウァイズ理論とリフトアップ技術を適応・拡張し、初等的埋め込みと一般化された拡張の文脈で部分完全な強制法を分析する。
• 一般化された対角的プリクラの一般性基準を用いて、対角的プリクラ強制法が部分完全であることを証明する。
• モデルにおける完全性と $σ$-完全性の概念を用いて、部分完全な強制法の一般性と閉じ性の性質を検証する。
• 反復定理とリフトアップの議論を用いて、部分完全な強制法が静的部分集合と木の性質を保存することを示す。
• モーダル論理の枠組みを用いて、部分完全な最大化原理とその局所的変種を分析する。
• 特に強く上昇可能な完全に反映可能な基数を含む大基数仮定を組み合わせ、MP$_{sc}$ と RA$_{sc}$ の同時一貫性を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分完全な強制法は、ススリン木の一意分岐性を保つのか？
• RQ2 部分完全な最大化原理（MP$_{sc}$）の整合性の強さは何か？ また、可算閉じる最大化原理と比べてどうか？
• RQ3 $H_{\omega_2}$ に関して定式化された部分完全な再生原理（RA$_{sc}$）は、上昇可能な基数と等価整合的か？
• RQ4 部分完全な最大化原理と部分完全な再生原理は、同時に一貫して成立しうるか？ もしそうなら、どのような大基数の強さが必要か？
• RQ5 対角的プリクラ強制法は部分完全か？ また、一般化された対角的プリクラの一般性基準を満たすか？

主な発見

• 部分完全な強制法は $ω_1$-木に共終分岐を追加せず、ススリン木の一意分岐性を保存する。
• 太字の部分完全な最大化原理（MP$_{sc}$）は、可算閉じる場合と同様に、完全に反映可能な基数と等価整合的である。
• $H_{\omega_2}$ に関して定式化された部分完全な再生原理（RA$_{sc}$）は、上昇可能な基数と等価整合的である。
• 部分完全な最大化原理と部分完全な再生原理は、直接的に互いを含意しないが、同時に一貫して成立しうる。
• MP$_{sc}$ と RA$_{sc}$ の同時一貫性は、強く上昇可能な完全に反映可能な基数の存在と等価整合的である。
• 対角的プリクラ強制法は、一般化された対角的プリクラの一般性基準と初等部分構造におけるリフトアップの議論により、部分完全であることが示された。