[論文レビュー] On subordination of holomorphic semigroups

A. M. Gomilko, Yuri Tomilov|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のベルンシュタイン関数 $\psi$ に対して、$-A$ が常にハロモーフィック $C_0$-半群を生成するならば、$-\psi(A)$ も同様にハロモーフィック $C_0$-半群を生成することを確立した。これは、吉本とロビンソンが提起した長年の未解決問題を解決するものである。さらに、元の半群 $e^{-tA}$ からの保存性として、部分半群 $e^{-t\psi(A)}$ のハロモーフィー領域およびセクター有界性が保たれることを証明し、カラッソ＝カトーおよびフジタの古典的結果を一般化・改善した。

ABSTRACT

We prove that for any Bernstein function $ψ$ the operator $-ψ(A)$ generates a holomorphic $C_0$-semigroup $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ on a Banach space, whenever $-A$ does. This answers a question posed by Kishimoto and Robinson. Moreover, giving a positive answer to a question by Berg, Boyadzhiev and de Laubenfels, we show that $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ is holomorphic in the holomorphy sector of $(e^{-tA})_{t \ge 0},$ and if $(e^{-tA})_{t \ge 0}$ is sectorially bounded in this sector then $(e^{-tψ(A)})_{t \ge 0}$ has the same property. We also obtain new sufficient conditions on $ψ$ in order that, for every Banach space $X$, the semigroup $(e^{-tψ(A)})_{t\ge 0}$ on $X$ is holomorphic whenever $(e^{-tA})_{t\ge 0}$ is a bounded $C_0$-semigroup on $X$. These conditions improve and generalize well-known results by Carasso-Kato and Fujita.

研究の動機と目的

• ベルンシュタイン関数による劣微分が $C_0$-半群のハロモーフィー性を保存するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 部分半群 $e^{-t\psi(A)}$ のハロモーフィー領域が、元の半群 $e^{-tA}$ のそれと一致するかどうかを特定すること。
• $e^{-tA}$ が有界であるとき、$e^{-t\psi(A)}$ がハロモーフィックであることを保証する $\psi$ に関する十分条件を確立すること。
• カラッソ＝カトーおよびフジタの古典的結果における「改善性」の性質を、より一般化・改善すること。

提案手法

• ベルンシュタイン関数 $\psi$ に関連する、確率測度の半群 $(\mu_t)_{t\geq 0}$ を用いた劣微分原理を用いる。定義は $e^{-t\psi(z)} = \int_0^\infty e^{-zs}\mu_t(ds)$ である。
• 関数計算を用いて、$\psi(A)$ を積分表現 $e^{-t\psi(A)} = \int_0^\infty e^{-sA}\mu_t(ds)$ で定義し、作用素関数計算と整合性を保つ。
• 完全ベルンシュタイン関数および完全ミロン関数の性質を用いて、セクター性およびハロモーフィー角の解析を行う。
• ベルンシュタイン関数および完全ミロン関数の積分表現と合成則を用い、$\psi$ がセクター有界性を保存する条件を導出する。
• ボホナーの劣微分およびフィリップスの理論を応用し、$A$ と $\psi(A)$ の固有値的性質の関係を関係づける。
• ハーモニック解析および作用素理論の高度な道具を活用し、特に部分確率測度のラプラス変換の構造およびセクター作用素の理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタイン関数 $\psi$ を用いたハロモーフィック $C_0$-半群の劣微分が、そのハロモーフィー性を保存するか。
• RQ2 $e^{-t\psi(A)}$ のハロモーフィー領域は、$e^{-tA}$ のそれの部分集合であるか、あるいは等しいか。
• RQ3 $-A$ がハロモーフィック $C_0$-半群を生成するとき、$-\psi(A)$ が同様にハロモーフィック $C_0$-半群を生成するための $\psi$ に関する条件は何か。
• RQ4 カラッソ＝カトーの研究を越えて、有界な $C_0$-半群をハロモーフィックなものに「改善」する性質を、より一般化して特徴づけられるか。
• RQ5 $e^{-tA}$ がセクター有界であるならば、$e^{-t\psi(A)}$ も同様にセクター有界であるか。

主な発見

• 任意のベルンシュタイン関数 $\psi$ に対して、$-A$ がハロモーフィック $C_0$-半群を生成する限り、$-\psi(A)$ もハロモーフィック $C_0$-半群を生成する。これは吉本とロビンソンの提起した問いに肯定的に答えている。
• $e^{-t\psi(A)}$ は $e^{-tA}$ と同じ領域でハロモーフィックであり、$e^{-tA}$ がセクター有界であれば、$e^{-t\psi(A)}$ も同様にセクター有界である。
• 本稿は、$e^{-tA}$ が有界であるとき $e^{-t\psi(A)}$ がハロモーフィックであることを保証する $\psi$ に関する新たな十分条件を提供し、カラッソ＝カトーおよびフジタの基準を一般化・改善した。
• $\psi$ が特別なベルンシュタイン関数であり、$\alpha \in (0,1)$ であるとき、$[\psi(z^\alpha)]^{1/\alpha}$ もベルンシュタイン関数であることが示された。これは既知の結果を拡張するものである。
• 文献[34]の主張におけるギャップを解消し、誤った議論に依存せずに、ハロモーフィー性保存の正しい証明を提供した。
• 劣微分写像 $\mathcal{M}: -A \mapsto -\psi(A)$ は、$C_0$-半群のハロモーフィー領域およびセクター有界性を両方保存する。