[論文レビュー] On subvarieties with nef normal bundle

Chung-Ching Lau|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正則束がネフである部分多様体を一般化する「ネフ部分スキーム」の概念を導入し、擬効果的でかつ大きな除集合が、このような部分多様体への制限においてもそのままであることを確立している。アーモニック性とネフ性の推移性を証明し、ネフ部分多様体の押し出しにより定義される弱い可動錐を定義し、トタロのq-アーモニック理論と交差理論を用いて、デメールリ＝ペテルニャ＝シュナイダーの結果を、余次元rの部分スキームへと拡張している。

ABSTRACT

The goal of this work is to study positivity of subvarieties with nef normal bundle in the sense of intersection theory. After Ottem's work on ample subschemes, we introduce the notion of a nef subscheme, which generalizes the notion of a subvariety with nef normal bundle. We show that restriction of a pseudoeffective (resp. big) divisor to a nef subvariety is pseudoeffective (resp. big). We also show that ampleness and nefness are transitive properties. We define the weakly movable cone as the cone generated by the pushforward of cycle classes of nef subvarieties via proper surjective maps. This cone contains the movable cone and shares similar intersection-theoretic properties with it, thanks to the aforementioned properties of nef subvarieties. On the other hand, we prove that if $Y\subset X$ is an ample subscheme of codimension $r$ and $D|_Y$ is $q$-ample, then $D$ is $(q+r)$-ample. This is analogous to a result proved by Demailly-Peternell-Schneider. We use the theory of $q$-ample divisors, as developed by Totaro, throughout the paper.

研究の動機と目的

• ネフ正則束を持つ部分多様体を一般化するため、ネフ部分スキームの概念を導入すること。
• ネフ部分多様体への制限において、擬効果的でかつ大きな除集合がどのように振る舞うかを調査すること。
• 部分スキームの文脈において、アーモニック性とネフ性の推移性を確立すること。
• ネフ部分多様体の押し出しによる生成の閉包として定義される弱い可動錐を定義し、その性質を研究すること。
• トタロのq-アーモニック除集合理論を用いて、デメールリ＝ペテルニャ＝シュナイダーのq-アーモニック性に関する結果を、より高い余次元の部分スキームへと拡張すること。

提案手法

• ネフ正則束を持つ部分多様体を一般化する形で、ネフ部分スキームの概念を導入する。
• 交差理論的技法を用いて、ネフ部分多様体への擬効果的でかつ大きな除集合の制限を分析する。
• サイクル類と適切かつ全射な写像の分析を通じて、アーモニック性とネフ性の推移性を証明する。
• 適切かつ全射な準同型によるネフ部分多様体のサイクル類の押し出しによって生成される錐の閉包として、弱い可動錐を定義する。
• トタロのq-アーモニック除集合理論を応用し、$ Y \subset X $ が余次元 $ r $ のアーモニック部分スキームであり、$ D|_Y $ がq-アーモニックであるならば、$ D $ は $ (q+r) $-アーモニックであることを示す。
• ネフ正則束を持つ部分スキームの文脈において、擬効果的でかつ大きな除集合の性質を活用し、交差理論的帰結を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネフ部分スキームの概念は、ネフ正則束を持つ部分多様体の文脈において、正性の観点からどのように一般化されるか？
• RQ2 ネフ部分多様体への制限において、除集合の擬効果的性および大きさの性質は、どのように変化するか？
• RQ3 ネフ正則束を持つ部分スキームの文脈において、アーモニック性またはネフ性は推移的か？
• RQ4 弱い可動錐は可動錐とどのように関係し、ネフ部分多様体からどのような交差理論的性質を継承するか？
• RQ5 特に高余次元において、部分スキームからアーモニック性がどのように大域的多様体へと持ち上がるか、その範囲はどの程度か？

主な発見

• ネフ部分多様体への擬効果的除集合の制限は、依然として擬効果的である。
• ネフ部分多様体への大きな除集合の制限は、依然として大きい。
• ネフ正則束を持つ部分スキームにおいて、アーモニック性とネフ性は推移的である。
• ネフ部分多様体のサイクル類の押し出しによって生成される弱い可動錐は、可動錐を含み、類似の交差理論的性質を有する。
• もし $ Y \subset X $ が余次元 $ r $ のアーモニック部分スキームであり、$ D|_Y $ がq-アーモニックであるならば、$ D $ は $ (q+r) $-アーモニックである。
• トタロが開発したq-アーモニック除集合の理論が、部分スキームから大域的多様体へのアーモニック性の持ち上げを実現するための主要な技術的枠組みを提供している。