[論文レビュー] On sum of powers of Laplacian eigenvalues and Laplacian Estrada index of graphs

Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2011

Graph theory and applications参考文献 26被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、グラフの次数列を用いてラプラシアン固有値のべき乗の和 $ s_\alpha(G) $ およびラプラシアン・エストラダ指数 $ LEE(G) $ のタイトな上限・下限を確立する。シュール凸性および主要化理論を活用し、連結グラフにおいて $ s_\alpha(G) $ および $ LEE(G) $ が星形グラフ $ S_n $ で極値をとることを証明する。$ \alpha > 1 $、$ 0 < \alpha < 1 $、$ \alpha < 0 $ の各範囲について明示的な不等式を導出し、$ s_{-1}(G) $ の分析からキルヒホッフ指数の新たな下界を副産物として得る。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph and $α$ a real number. The quantity $s_α(G)$ defined as the sum of the $α$-th power of the non-zero Laplacian eigenvalues of $G$ generalizes several concepts in the literature. The Laplacian Estrada index is a newly introduced graph invariant based on Laplacian eigenvalues. We establish bounds for $s_α$ and Laplacian Estrada index related to the degree sequences.

研究の動機と目的

• 連結グラフの次数列に基づき、非ゼロラプラシアン固有値の $ \alpha $ 乗の和 $ s_\alpha(G) $ のタイトな境界を導出すること。
• 次数列を用いてラプラシアン・エストラダ指数 $ LEE(G) $ の新たな下界および上界を確立すること。
• 導出された境界で等号が成立する極値グラフ（例：星形グラフ）を同定すること。
• $ s_{-1}(G) $ の分析からキルヒホッフ指数の新たな下界を提供すること。

提案手法

• 異なる $ \alpha $ の範囲におけるべき関数 $ x^\alpha $ のシュール凸性を活用し、既知の主要化に関する結果を応用する。
• ラプラシアン固有値列と変換された次数列 $ (d_1+1, d_2, \dots, d_{n-1}, d_n-1) $ 間の主要化関係 $ (d_1+1, d_2, \dots, d_{n-1}, d_n-1) \preceq (\mu_1, \dots, \mu_n) $ を適用する。
• 指数関数のテイラー展開を用いてラプラシアンスペクトルモーメント $ t_k(G) $ とラプラシアン・エストラダ指数 $ LEE(G) = \sum_{k\geq 0} \frac{t_k(G)}{k!} $ の関係を確立する。
• $ k \geq 1 $ に対して $ s_k(G) = t_k(G) $ であることを利用し、次数列に基づく $ t_k(G) $ の不等式を導出する。
• 相加平均・相乗平均の不等式およびその他の古典的不等式を用いて $ LEE(G) $ および $ LEE(G) + LEE(\overline{G}) $ の境界を導出する。
• 固有値列と次数列が等しいグラフ（例：$ G = S_n $ や $ G = K_n $）の特徴付けを用いて等号成立条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフの次数列を用いて、非ゼロラプラシアン固有値の $ \alpha $ 乗の和 $ s_\alpha(G) $ のタイトな境界は何か？
• RQ2 固定された次数列のもとで、ラプラシアン・エストラダ指数 $ LEE(G) $ が最小または最大となるグラフ構造は何か？
• RQ3 $ s_{-1}(G) $ の導出された不等式を用いてキルヒホッフ指数を下から抑えられるか？
• RQ4 特に $ \alpha > 1 $、$ 0 < \alpha < 1 $、$ \alpha < 0 $ の範囲において、$ s_\alpha(G) $ および $ LEE(G) $ の境界はどのように振る舞うか？
• RQ5 導出された境界で等号が成立する極値グラフ（例：星形、完全グラフ、クリークの頂点非共有和など）は何か？

主な発見

• $ \alpha > 1 $ に対して、$ s_\alpha(G) \geq (d_1+1)^\alpha + \sum_{i=2}^{n-1} d_i^\alpha + (d_n - 1)^\alpha $ が成り立ち、等号成立は $ G = S_n $ のときに限る。
• $ 0 < \alpha < 1 $ に対して、$ s_\alpha(G) \leq (d_1+1)^\alpha + \sum_{i=2}^{n-1} d_i^\alpha + (d_n - 1)^\alpha $ が成り立ち、等号成立は $ G = S_n $ のときに限る。
• $ \alpha < 0 $ に対して、$ s_\alpha(G) \geq (d_1+1)^\alpha + \sum_{i=2}^{n-2} d_i^\alpha + (d_{n-1} + d_n - 1)^\alpha $ が成り立ち、等号成立は $ G = S_n $ または $ G = K_3 $ のときに限る。
• ラプラシアン・エストラダ指数は $ LEE(G) \geq e^{d_1+1} + \sum_{i=2}^{n-1} e^{d_i} + e^{d_n - 1} $ を満たし、等号成立は $ G = S_n $ のときに限る。
• $ k \geq 1 $ に対して、$ t_k(G) \geq \sum_{i=1}^n d_i (1 + d_i)^{k-1} $ が成り立ち、$ k \geq 3 $ のとき等号成立は $ G $ が完全部分グラフの頂点非共有和であるときに限る。
• キルヒホッフ指数の新たな下界として $ Kf(G) \geq \frac{n}{(d_1+1)^{-1} + \sum_{i=2}^{n-1} d_i^{-1} + (d_n - 1)^{-1}} $ が $ s_{-1}(G) $ から導出される。