[論文レビュー] On sum sets of convex functions

Sophie Stevens, Audie Warren|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最近の和積文献から取り入れた統一的な正則化技術を用いて、凸関数および凹関数の和集合に対して新たな境界を確立する。|A+B|³⁸|f(A)+g(B)|³⁸ ≳ |A|⁴⁹|B|⁴⁹ を証明し、二変数拡張子および非対称和積問題における改善された指数をもたらし、|AB+A| ≳ |A|³ᐟ²⁺³ᐟ¹⁷⁰ を含む。

ABSTRACT

In this paper we prove new bounds for sums of convex or concave functions. Specifically, we prove that for all $A,B \subseteq \mathbb R$ finite sets, and for all $f,g$ convex or concave functions, we have $$|A + B|^{38}|f(A) + g(B)|^{38} \gtrsim |A|^{49}|B|^{49}.$$ This result can be used to obtain bounds on a number of two-variable expanders of interest, as well as to the asymmetric sum-product problem. We also adjust our technique to also prove the three-variable expansion result \[ |AB+A|\gtrsim |A|^{\frac32 +\frac3{170}}\,. \] Our methods follow a series of recent developments in the sum-product literature, presenting a unified picture. Of particular interest is an adaptation of a regularisation technique of Xue, that enables us to find positive proportion subsets with certain desirable properties.

研究の動機と目的

• 有限実数集合上の凸または凹関数の和集合に対して、定量的な改善を確立すること。
• 最近の和積技法を拡張し、二変数拡張子および非対称和積問題に対するより強い境界を得ること。
• 共通の正則化フレームワークを用いて、既存の凸集合、和積現象、拡張子集合の結果を統一的かつ一般化すること。
• 特に、一方の集合の和が少ないまたは積が少ない場合に、非対称和積推定においてしきい値を破る結果を得ること。

提案手法

• Xue [20] が提案した正則化技術（元は [9] に由来）を応用し、正の密度と有益な加法的構造を持つ部分集合を見つける。
• Incidence幾何と直線エネルギーの境界（特に Rudnev と Shkredov [10] の定理 8）を用いて、y = ax + a′ の形の直線と点の間の接続を制御する。
• 乗法的および加法的エネルギーの分解（E₃⁺(A₂, D) および E₃ˣ(A₁, A) を含む）を用い、部分集合内の加法的および乗法的構造を関連付ける。
• Roche-Newton と Warren [8] の境界と、Roche-Newton と Rudnev [7] の加法的組合せ論的結果を組み合わせ、incidence推定を得る。
• コーシー・シュワルツエネルギー境界と双対性の議論を用い、|A + λA| を乗法的エネルギー E₃ˣ(A₁, A) に関連づけ、指数の最適化を可能にする。
• |AB + A| に対して二つの補完的境界を導出し、それらを最大化することで最終的な指数 3/2 + 3/170 を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f が凸または凹関数であるとき、既知の 24/19 の指数を超えて、|A + f(A)| に対する改善された下界を確立できるか？
• RQ2 凸関数を用いることで、集合 A と B が非対称な場合の和積現象をどの程度強化できるか？
• RQ3 |A + B| が小さい場合に、非対称設定において 3/2 のしきい値を破ることができるか？
• RQ4 有限体における和積理論からの正則化技法を、実数に適応して凸関数に適用できるか？
• RQ5 有限集合 A ⊆ ℝ に対して |AB + A| ≳ |A|^{c} を満たす最適な指数 c は何か？ 3/2 を超える可能性はあるか？

主な発見

• 主結果として、有限集合 A, B ⊆ ℝ および凸または凹関数 f, g に対して、|A + B|³⁸|f(A) + g(B)|³⁸ ≳ |A|⁴⁹|B|⁴⁹ が確立される。
• これは |A + f(A)| ≳ |A|⁴⁹ᐟ³⁸ を意味し、Li と Roche-Newton が得た従来の 24/19 の指数を改善する。
• 和集合の和積推定として、|A + A| + |f(A) + f(A)| ≳ |A|⁴⁹ᐟ³⁸ が得られ、Shkredov の 100/79 の指数を改善する。
• 非対称和積推定として、|AB|³⁸|A + B|³⁸ ≳ (|A||B|)⁴⁹ が導出され、極端な場合に 3/2 のしきい値を破る。
• |A| = |B| = N かつ |A + B| ≲ N の場合、この境界は |AB| ≳ N³ᐟ²⁺³ᐟ³⁸ を意味し、通常の 3/2 の壁を超える。
• 加法的エネルギーとincidence幾何の精密な解析を通じて、三変数拡張子境界 |AB + A| ≳ |A|³ᐟ²⁺³ᐟ¹⁷⁰ が証明される。