[論文レビュー] On sums of binomial coefficients modulo p^2

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2009

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$p$-進整数 $h$ および $m$ を用いて重み付けられた中央二項係数 $\binom{2k}{k}$ の和について、$p^2$ を法とする新しい合同式を確立する。特に、$\binom{hp^a - 1}{k}$ をインデックスに用い、その和をルーカス数列およびフェルマー商を用いて表現する。これは、既存の $p$ を法とする結果を高次の $p$-進精度にまで拡張・精錬したものである。

ABSTRACT

Let p be an odd prime and let a be a positive integer. In this paper we investigate the sum $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}/m^k$ mod p^2, where h,m are p-adic integers with m ot=0 (mod p). For example, we show that if h ot=0 (mod p) and p^a>3 then $$ sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{hp^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-h/2)^k =(\frac{1-2h}{p^a})(1+h((4h-2)^{p-1}/h^{p-1}-1)) (mod p^2),$$ where (-) denotes the Jacobi symbol. Here is another remarkable congruence: If p>3 then $$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{p^a-1}{k}\binom{2k}{k}(-1)^k =3^{p-1}(\frac{p^a}3) (mod p^2).$$

研究の動機と目的

• 既知の中央二項係数の和に関する $p$ を法とする結果を、$p^2$ を法とする高精度にまで拡張すること。
• $p$-進整数 $h, m$（$m \not\equiv 0 \pmod{p}$）に対して、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ の形の和の構造を調査すること。
• これらの和をルーカス数列 $u_n(A,B)$ および $v_n(A,B)$ を用いて表現し、フェルマー商 $q_p(h)$ を組み込むこと。
• 孫氏らによる中央二項係数の $p$-進付値および合同式に関する既存の結果を精錬・一般化すること。
• 特殊ケース（$m=3$, $m=5$, $m=-2$ など）を統一・拡張する一般合同式（定理 1.2）を確立すること。

提案手法

• $m \not\equiv 0 \pmod{p}$ を満たす $p$-進整数 $h$ および $m$ を用いて、中央二項係数の重み付き和を定義する。
• $k < p^a$ のとき、$\binom{hp^a - 1}{k} \equiv 1 - h p^a H_k \pmod{p}$ であるという恒等式を適用する。ここで $H_k$ は $k$ 番目の調和数である。
• 特性根 $\alpha, \beta$ が $x^2 - (m-2)x + 1 = 0$ を満たすルーカス数列 $u_n(m-2,1)$ および $v_n(m-2,1)$ を用いて、主要な合同式を表現する。
• $p$-進補正を $p^2$ を法とする合同式に取り入れるために、フェルマー商 $q_p(h) = (h^{p-1} - 1)/p$ を組み込む。
• 特殊ケースの結果を精錬するために、モーリーの合同式 $\binom{p-1}{(p-1)/2} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 4^{p-1} \pmod{p^3}$ を用いる。
• 調和和 $\sum_{k=1}^{p-1} (-1)^k \frac{\binom{2k}{k}}{k(m-4)^k}$ を含む補助的合同式を導出し、$q_p(m-4)$ およびルーカス数列の値と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進整数 $h, m$ に対して、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k}$ の形の和を $p^2$ を法としてどのように評価できるか？
• RQ2 ルーカス数列 $u_n(m-2,1)$ および $v_n(m-2,1)$ は、この和を $p^2$ を法として表現する際に果たす役割は何か？
• RQ3 フェルマー商 $q_p(h)$ および $q_p(m-4)$ は、$p^2$ を法とする精錬された合同式にどのように寄与するか？
• RQ4 どのような条件下で、和がヤコビ記号 $\left(\frac{\Delta}{p^a}\right)$ および $h((m-4)^{p-1} - 1)$ のみを含む式に簡約されるか？
• RQ5 結果を特殊化することで、$m=3$, $m=5$, または $m=-2$ の場合に既知の合同式を回復または精錬できるか？

主な発見

• 定理 1.1 により、$h$ および $p^a$ にやや緩い条件を課した下で、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \binom{2k}{k} \left(-\frac{h}{2}\right)^k \equiv \left(\frac{1-2h}{p^a}\right) \left(1 + h\left(\left(4 - \frac{2}{h}\right)^{p-1} - 1\right)\right) \pmod{p^2}$ が成り立つことが示された。
• 推論 1.1 により、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{p^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{(-2)^k} \equiv (-1)^{(p^a - 1)/2} 2^{p-1} \pmod{p^2}$ が得られ、$a=1$ の場合に既知の $p^3$ を法とする結果を精錬した。
• 推論 1.2 により、$\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2p^a - 1}{k} \binom{2k}{k} (-1)^k \equiv \left(\frac{p^a}{3}\right) (2 \cdot 3^{p-1} - 1) \pmod{p^2}$ および $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{p^a + k}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{2^k} \equiv \left(\frac{3}{p^a}\right) (1 - p(q_p(2) + q_p(3))) \pmod{p^2}$ が示された。
• 推論 1.3 により、$h = -2$ の場合に $\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2p^a + k}{k} \binom{2k}{k} (-1)^k \equiv \left(\frac{p^a}{5}\right) (3 - 2 \cdot 5^{p-1}) \pmod{p^2}$ が導出された。
• 定理 1.2 は一般式を提供する：$\sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{hp^a - 1}{k} \frac{\binom{2k}{k}}{(-m)^k} \equiv \left(\frac{\Delta}{p^{a-1}}\right)(1 - \frac{hm}{2}) u_{p - (\frac{\Delta}{p})}(m-2,1) + \left(\frac{\Delta}{p^a}\right)(1 + h((m-4)^{p-1} - 1)) + \text{補正項} \pmod{p^2}$ であり、ここで $\Delta = m(m-4)$ である。
• $hm \equiv 2 \pmod{p}$ のとき、和は $\left(\frac{\Delta}{p^a}\right)(1 + h((m-4)^{p-1} - 1)) + \text{補正}$ に簡約され、補正項は $p^a = 3$ かつ $3 \mid m-1$ でない限り消える。