[論文レビュー] On Supports of Sums of Nonnegative Circuit Polynomials

Jie Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、すべての SONC（非負巡回多項式の和）多項式が、同一のsupporthを有する非負の巡回多項式に分解可能であり、スパarsityが保たれることを証明している。これにより、相対エントロピープログラミングを用いた非負性の証明がより効率的になり、特にスパースな多項式に対して、従来の SOS（平方和）分解に比べて顕著な利点を示す。SOS分解はしばしば追加の単項式を必要とし、スパースな多項式では効率が劣る。

ABSTRACT

In this paper, we prove that every SONC polynomial decomposes into a sum of nonnegative circuit polynomials with the same support, which reveals the advantage of SONC decompositions for certifying nonnegativity of sparse polynomials compared with the classical SOS decompositions. By virtue of this fact, we can decide $f\in$ SONC through relative entropy programming more efficiently.

研究の動機と目的

• すべての SONC 多項式が、同一のsupporthを持つ非負の巡回多項式に分解可能であることを確立すること。
• 従来の SOS 分解と比較して、SONC 分解のスパarsityを保つ性質を明確にすること。
• 相対エントロピープログラミングを用いた、SONC コーンへの属するかどうかの意思決定をより効率的に行えるようにすること。
• SONC表現を用いた多項式最適化における改善アルゴリズムの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿は、SONC 多項式に対するsupporthを保つ分解定理を導入し、各 SONC 多項式が同一のsupporthを持つ非負の巡回多項式の和として表現可能であることを証明している。
• 巡回多項式の非負性を特徴付けるために、ニュートン多面体の頂点の凸結合を用いた巡回数条件を用いている。
• 相対エントロピープログラミング（REP）を用いて、SONC コーンへの属するかどうかをテストし、巡回構造と係数分解に基づく制約を導出している。
• supporth 内の非頂点単項式ごとに、ニュートン多面体の単体的分割を用いて複数の巡回多項式を構築している。
• REP システムの妥当性が SONC 属するかどうかと同値であることが示され、変数は係数の分割と対数バリア項を追跡している。
• REP のコア定式化には、重み付き係数の制約、対数不等式、および部分的分解間での総係数の保存則が含まれている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての SONC 多項式が、元のsupporthを保つ非負の巡回多項式に分解可能か？
• RQ2 SONC 分解のsupporth構造は、SOS 分解と比較してスパarsityの観点でどのように異なるか？
• RQ3 スパースな多項式の非負性は、SOS 表現と比較して SONC を用いることでより効率的に証明可能か？
• RQ4 巡回数は、巡回多項式の非負性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 追加の単項式を導入せずに、SONC コーンへの属するかどうかを効率的に決定する相対エントロピープログラミング定式化は存在するか？

主な発見

• すべての SONC 多項式は、元の多項式のスパarsityが保たれる同一のsupporthを持つ非負の巡回多項式に分解可能である。
• このsupporthを保つ性質により、SONC 分解は通常追加の単項式を必要とするSOS 分解よりも著しく効率的である。
• 特定の相対エントロピープログラム（REP）の妥当性が、SONC コーンへの属するかどうかと同値であることが示され、非負性の効率的証明が可能になった。
• REP 定式化は、複数の巡回成分に係数を分割しつつ、総係数を保存し、巡回数から導かれる対数不等式を満たす。
• SOSとは異なり、分解中に新しい単項式を導入しない。これにより、項数の増加と計算コストの増大を回避できる。
• 提案された REP 定式化は SONC 属するための必要十分条件であり、スパースな非負多項式に対する完全かつ効率的な意思決定手順を提供する。