[論文レビュー] On surfaces of general type with $p_g=q=1, K^2=3$

Francesco Polizzi|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、$p_g = q = 1$, $K^2 = 3$ を満たす一般型の曲面を研究し、そのモジュライ空間 $\mathscr{M}$ に注目する。この中で、 genus 2 ペンシルを持つ曲面をパラメトライズする部分 $\mathscr{M}_2 \subset \mathscr{M}$ を特徴づけ、$\mathscr{M}$ の中で稠密かつ空でない開部分集合 $\mathscr{M}^0 \subset \mathscr{M}$ が、双有理的である bicanonical 写像を持つ曲面をパラメトライズすることを証明した。主な道具は、パラカノニカル写像と楕円曲線の対称積である。

ABSTRACT

The moduli space $\mathscr{M}$ of surfaces of general type with $p_g=q=1, K^2=g=3$ (where $g$ is the genus of the Albanese fibration) was constructed by Catanese and Ciliberto in \cite{CaCi93}. In this paper we characterize the subvariety $\mathscr{M}_2 \subset \mathscr{M}$ corresponding to surfaces containing a genus 2 pencil, and moreover we show that there exists a non-empty, dense subset $\mathscr{M}^0 \subset \mathscr{M}$ which parametrizes isomorphism classes of surfaces with birational bicanonical map.

研究の動機と目的

• 一般型曲面で $p_g = q = 1$, $K^2 = 3$ を満たすものからなるモジュライ空間 $\mathscr{M}$ 内で、genus 2 ペンシルを持つ曲面をパラメトライズする部分多様体 $\mathscr{M}_2 \subset \mathscr{M}$ を特徴づけること。
• 一般にこのような曲面に対して、bicanonical 写像が双有理的であるかどうかを特定すること。
• パラカノニカルシステムの幾何構造と、楕円曲線 $E$ の第3対称積 $E(3)$ の関係を分析すること。
• $\mathscr{M}$ に属するこのような曲面をパラメトライズする線型系統 $|\mathfrak{D}_0|$ が基点をもたないか、すなわち基点自由であるかを解明すること。

提案手法

• 研究は、曲面 $S$ を楕円曲線 $E$ の第3対称積 $E(3)$ に写像するパラカノニカル写像 $\omega: S \to E(3)$ を用いる。この写像により、$S$ の canonical model がその像として特定される。
• $E(3)$ 上の線型系統 $|\mathfrak{D}_0|$ を分析する。ここで $\mathfrak{D}_0 \sim 4D - F$ であり、有理二重特異点をもつ最高でそのような特異点を持つ除数を研究する。
• 論文はシュレーディンガーの定理を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 2 ペンシルを持つ曲面に対応する $\mathscr{M}_2 \subset \mathscr{M}$ の構造は何か？
• RQ2 一般に $\mathscr{M}$ に属する曲面に対して、bicanonical 写像は双有理的か？
• RQ3 $E(3)$ 上の線型系統 $|\mathfrak{D}_0|$ は基点を持つのか、それとも基点自由か？
• RQ4 一般型曲面で $p_g = q = 1$, $K^2 = 3$ を満たすものに、bicanonical 写像の次数が 2 または 6 であるようなものが存在するか？

主な発見

• $\mathscr{M}_2 \subset \mathscr{M}$ である genus 2 ペンシルを持つ曲面の集合は、モジュライ空間 $\mathscr{M}$ の真部分多様体として特徴づけられ、これは正則的で、既約的であり、次元が 5 である。
• $\mathscr{M}$ の中で稠密かつ空でない開部分集合 $\mathscr{M}^0 \subset \mathscr{M}$ が存在し、そこでは同型類としての曲面がすべて双有理的 bicanonical 写像を持つ。
• このような曲面の bicanonical 写像が双有理的でないのは、次数 2 または 6 の場合に限られ、その両方が、ファイブレーションの傾きと Grauert-Fischer の定理を用いた背理法によって除外される。
• 次数 $d=6$ の場合、そのような写像の存在が canonical 除数類と分岐除数の構造に矛盾を引き起こすため、除外される。
• 次数 $d=2$ の場合、bicanonical 除数と超平面切断の次数および交点理論における矛盾により、除外される。
• 線型系統 $|\mathfrak{D}_0|$ が基点自由であることが示され、Ciliberto と Catanese が提起した疑問が、対称積の構造とヘイゼンベルク群作用の分析により解決された。