[論文レビュー] On Symbolic Ultrametrics, Cotree Representations, and Cograph Edge Decompositions and Partitions

Marc Hellmuth, Nicolas Wieseke|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、任意のグラフ G の辺と非辺を区別する記号的超距離が存在するための必要十分条件が、G がコグラフであることであることを確立している。コグラフは、コツリーを用いて一意に表現可能である。また、非コグラフ G を表現するために必要なコツリーの最小数（またはコグラフ k-分解／分割）を決定することは、k=2 の場合に NP-完全であることを証明し、一般の k について上界を導出している。

ABSTRACT

Symbolic ultrametrics define edge-colored complete graphs K_n and yield a simple tree representation of K_n. We discuss, under which conditions this idea can be generalized to find a symbolic ultrametric that, in addition, distinguishes between edges and non-edges of arbitrary graphs G=(V,E) and thus, yielding a simple tree representation of G. We prove that such a symbolic ultrametric can only be defined for G if and only if G is a so-called cograph. A cograph is uniquely determined by a so-called cotree. As not all graphs are cographs, we ask, furthermore, what is the minimum number of cotrees needed to represent the topology of G. The latter problem is equivalent to find an optimal cograph edge k-decomposition {E_1,...,E_k} of E so that each subgraph (V,E_i) of G is a cograph. An upper bound for the integer k is derived and it is shown that determining whether a graph has a cograph 2-decomposition, resp., 2-partition is NP-complete.

研究の動機と目的

• 任意の無向グラフ G が、辺と非辺を区別する記号的超距離によって表現可能となる条件を特定すること。
• このような記号的超距離表現を許容するグラフのクラスを特徴づけること。
• 非コグラフのグラフを表現するために必要なコツリー（またはコグラフ k-分解／分割）の最小数を調査すること。
• グラフがコグラフ 2-分解または 2-分割を許容するかどうかを決定する問題の計算複雑性を確立すること。
• 任意のグラフ G に対して、そのグラフを分解または分割するためのコグラフ部分グラフの最小数 k の上界を導出すること。

提案手法

• 対称性、超距離に類似した条件、および非交差条件を満たす記号的超距離 δ: V×V → M∪{⊙} を定義し、木表現可能性を保証する。
• G に対して辺と非辺を区別する記号的超距離が存在するための必要十分条件として、G がコグラフであること（誘導された P₄ が存在しないこと）を用いて証明する。
• コグラフの一意なコツリー表現を用いて、辺色分け部分グラフの階層的構造をモデル化する。
• NAE 3-SAT 問題からコグラフ 2-分解問題への還元を構築し、節とリテラルのガジェットを用いて真理値割り当てを符号化する。
• 補題 4.3 を適用して、各節ガジェットにおいて、ちょうど二つの三角形（リテラルを表す）が一方の辺集合に、残りの一つが他方の辺集合に割り当てられることを強制し、妥当な真理値割り当てを保証する。
• 妥当なコグラフ 2-分解（または 2-分割）が、NAE 3-SAT 公式の妥当な真理値割り当てに対応することを示すことにより、NP-完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ G に対して、辺と非辺を区別する記号的超距離が存在し、かつ木表現が可能となるか？
• RQ2 非コグラフのグラフの構造を表現するために、最小でどの程度のコツリー（またはコグラフ部分グラフ）が必要か？
• RQ3 グラフがコグラフ 2-分解または 2-分割を許容するかどうかを決定する問題は、計算的に容易か？
• RQ4 任意のグラフに対して、その k-分解におけるコグラフ部分グラフの最小数 k の上界をどのように導出できるか？
• RQ5 NAE 3-SAT 問題からの還元における誘導された P₄ の構造と節ガジェットの構造は、コグラフ k-分解の可能性にどのように関係するか？

主な発見

• 辺と非辺を区別する記号的超距離が G に対して存在するための必要十分条件は、G がコグラフであることである。
• コグラフは一意にコツリーによって表現可能であり、したがって記号的木表現を許容する。
• グラフがコグラフ 2-分解を許容するかどうかを決定する問題は NP-完全である。
• グラフがコグラフ 2-分割を許容するかどうかを決定する問題は NP-完全である。
• 任意のグラフ G に対して、コグラフ k-分解の最小 k の上界は存在するが、正確な値を計算するのは NP-困難である。
• コグラフ k-分解、コグラフ k-分割、コツリー k-表現の間の同値性から、k>1 の場合、これらすべての最適化問題が NP-困難であることが示される。