[論文レビュー] On Symmetric Gauge Fields for arbitrary Gauge and Symmetry Groups

Othmar Brodbeck|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 1996

Advanced Differential Geometry Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Wangの定理を、基底多様体が対称性軌道によってファイブレーションされる任意のコンパクトなゲージ群および対称性群を持つ対称ゲージ場へ一般化する。対称主 bundle の分類を行い、不変ゲージ接続の局所的表現を導出し、一般相対性理論および量子宇宙論におけるより広範なゲージ理論枠組みへ微分幾何的手法を拡張する。

ABSTRACT

A classification of the possible symmetric principal bundles with a compact gauge group, a compact symmetry group and a base manifold which is regularly foliated by the orbits of the symmetry group is derived. A generalization of Wang's theorem (classifying the invariant connections) is proven and local expressions for the gauge potential of an invariant connection are given.

研究の動機と目的

• 対称性群の軌道によって定期的ファイブレーションされる基底多様体上に、コンパクトなゲージ群および対称性群を有する対称主 bundle を分類すること。
• 不変接続に関するWangの定理を、任意のコンパクトなゲージ群および対称性群へ一般化すること。
• 対称ゲージ場理論における不変接続のゲージポテンシャルの局所的表現を導出すること。
• 一般相対性理論および量子宇宙論における対称時空構造を対象とする微分幾何的枠組みを確立すること。

提案手法

• コンパクトな構造群を有する主 bundle の理論を用いて、対称的構成を分析する。
• 群作用のファイブレーション技術を適用し、基底多様体を対称性群の軌道による正則ファイブレーションとしてモデル化する。
• 表現論および不変微分法を用いて、対称性群作用に関して不変である接続を分類する。
• バンドル上の不変微分形式および接続1形式を用いて、ゲージポテンシャルの局所的表現を導出する。
• Wangの元来の不変接続の分類を、非アーベルおよび任意のコンパクト群へ拡張する。
• ファイブレーションされた基底多様体の幾何的構造を用いて、ゲージポテンシャルおよび接続曲率の形を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクトなゲージ群および対称性群を有する対称主 bundle において、不変接続をどのように分類できるか？
• RQ2 コンパクト群を有する主 bundle が、ファイブレーションされた基底多様体上で対称的構造を有するための必要十分条件は何か？
• RQ3 不変接続のゲージポテンシャルの局所的表現は、元来のWangの定理をどのように一般化するか？
• RQ4 ゲージ場理論において、対称性群の軌道による基底多様体の正則ファイブレーションから生じる幾何的および位相的制約は何か？
• RQ5 導出されたゲージポテンシャルの表現は、一般相対性理論および量子宇宙論における対称ゲージ場モデルの適用範囲をどのように拡張するか？

主な発見

• 対称性群の軌道によって定期的ファイブレーションされる基底多様体上に、コンパクトなゲージ群および対称性群を有する対称主 bundle について、完全な分類が確立された。
• 本稿は、Wangの定理を任意のコンパクトなゲージ群および対称性群へ一般化し、元来の設定を超えてその適用範囲を拡張した。
• 不変微分形式および群作用の対称性を用いて、不変接続のゲージポテンシャルの局所的表現が明示的に導出された。
• ゲージポテンシャルの構造が、軌道ファイブレーションおよび対称性群の表現論によって完全に決定されることが示された。
• 本研究の結果は、高次対称性および非アーベルな状況における対称ゲージ場を構成するための体系的枠組みを提供する。
• 導出された形式的体系は、一般相対性理論および量子宇宙論における対称時空を含む物理理論に適用可能である。